Em cada item, encontre equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas (sempre que possível, por x, y e z ) para a reta que passa pelo ponto A e possui v como um vetor diretor.
© A=(-1, 3, 1) e v = (-1, 0, 0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar diferentes formas de escrever a reta que passa pelo ponto e tem como vetor diretor . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de retas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como montar as equações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação vetorial da reta. A equação vetorial é uma forma de representar uma reta usando um ponto inicial e um vetor diretor. A fórmula geral é:
onde é o vetor posição do ponto , é o vetor diretor, e é um parâmetro real.
Substituindo os valores fornecidos:

Passo 3

Agora, vamos para as equações paramétricas. Essas equações descrevem cada coordenada da reta em função do parâmetro . Geralmente, são escritas assim:
onde é o ponto e são as componentes do vetor diretor .
Aplicando os valores:

Passo 4

Vamos seguir para as equações simétricas. Essas equações relacionam as coordenadas , e diretamente, eliminando o parâmetro . A forma geral é:
No entanto, aqui percebemos que os componentes e do vetor diretor são zero. Isso significa que as coordenadas e não variam, tornando impossível formar uma equação simétrica completa. Portanto, não conseguimos escrever uma equação simétrica para essa reta.

Passo 5

Por fim, vamos para as equações reduzidas. Elas são semelhantes às simétricas, mas adaptadas quando alguns componentes do vetor diretor são zero. Já que e , as coordenadas e são constantes:
E para :
Mas como é apenas um parâmetro, podemos deixar a equação reduzida focando na coordenada que varia:
ou simplesmente:

Resposta

As equações da reta são:
  • Vetorial:
  • Paramétricas:
  • Reduzidas:
  • Equações Simétricas: Não aplicável neste caso.

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