Em cada item, encontre equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas (sempre que possível, por
e
) para a reta que passa pelo ponto
e possui
como um vetor diretor.
©
e
.
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar diferentes formas de escrever a reta que passa pelo ponto
e tem como vetor diretor
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de retas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como montar as equações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação vetorial da reta. A equação vetorial é uma forma de representar uma reta usando um ponto inicial e um vetor diretor. A fórmula geral é:
onde
é o vetor posição do ponto
,
é o vetor diretor, e
é um parâmetro real.
Substituindo os valores fornecidos:
Passo 3
Agora, vamos para as equações paramétricas. Essas equações descrevem cada coordenada da reta em função do parâmetro
. Geralmente, são escritas assim:
onde
é o ponto
e
são as componentes do vetor diretor
.
Aplicando os valores:
Passo 4
Vamos seguir para as equações simétricas. Essas equações relacionam as coordenadas
,
e
diretamente, eliminando o parâmetro
. A forma geral é:
No entanto, aqui percebemos que os componentes
e
do vetor diretor são zero. Isso significa que as coordenadas
e
não variam, tornando impossível formar uma equação simétrica completa. Portanto, não conseguimos escrever uma equação simétrica para essa reta.
Passo 5
Por fim, vamos para as equações reduzidas. Elas são semelhantes às simétricas, mas adaptadas quando alguns componentes do vetor diretor são zero. Já que
e
, as coordenadas
e
são constantes:
E para
:
Mas como
é apenas um parâmetro, podemos deixar a equação reduzida focando na coordenada que varia:
ou simplesmente:
Resposta
As equações da reta são:
- Vetorial:
- Paramétricas:
- Reduzidas:
- Equações Simétricas: Não aplicável neste caso.