Derive, aplicando as regras de derivação: d/dy ((1/y^2) - (3/y^3))(y + 5y^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa derivada! O exercício pede para derivar a função em relação a . Aqui estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente aplicando as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da potência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes da função que estão sendo multiplicadas. Podemos chamar:
Para derivar o produto dessas duas funções, vamos usar a Regra do Produto, que diz que:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada uma das funções separadamente.
Derivando :
Usando a Regra da Potência, onde , temos:
Derivando :
Aplicando a mesma regra da potência:

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra do Produto substituindo , , e :

Passo 5

Vamos simplificar cada parte separadamente.
Primeira parte:
Simplificando termo a termo:
Segunda parte:
Simplificando termo a termo:

Passo 6

Agora, juntamos as duas partes:
Vamos somar os termos semelhantes:
  • Termos constantes:
  • Termos com :
  • Termos com :
  • Termos com :

Resposta

A derivada da função dada é:

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