Em cada item encontre, se existirem, os extremos locais da função dada
f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x(\ln x)^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos locais da função
f:(0,+\infty)\to\mathbb{R},\quad f(x)=x(\ln x)^{2}.
O conteúdo é derivadas e classificação de pontos críticos usando f'(x)=0 e o sinal de f''(x).

Passo 2

Calculamos a derivada f'(x) pelo produto de x e (\ln x)^{2}. Usando
\frac{d}{dx}\bigl[x\bigr]=1,\quad \frac{d}{dx}\bigl[(\ln x)^{2}\bigr]=2\ln x\cdot\frac1x,
temos
f'(x) =1\cdot(\ln x)^{2}+x\cdot\frac{2\ln x}{x} =(\ln x)^{2}+2\ln x =\ln x\bigl(\ln x+2\bigr).

Passo 3

Buscamos f'(x)=0, isto é
\ln x(\ln x+2)=0.
Dessa equação vêm dois pontos críticos em (0,+\infty):
\text{(i) } \ln x=0\implies x=1, \quad \text{(ii) } \ln x=-2\implies x=e^{-2}.

Passo 4

Para classificar cada ponto, calculamos a segunda derivada:
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl[(\ln x)^{2}+2\ln x\bigr] =\frac{2\ln x}{x}+\frac{2}{x} =\frac{2(\ln x+1)}{x}.
Em x=1 temos \ln1=0, então
f''(1)=\frac{2(0+1)}{1}=2>0,
logo x=1 é ponto de mínimo local.
Em x=e^{-2} temos \ln(e^{-2})=-2, então
f''(e^{-2}) =\frac{2(-2+1)}{e^{-2}} =\frac{-2}{e^{-2}} =-2e^{2}<0,
logo x=e^{-2} é ponto de máximo local.

Resposta

Ponto de máximo local em x=e^{-2}, com valor
f(e^{-2})=e^{-2}\cdot(-2)^{2}=4e^{-2}.
Ponto de mínimo local em x=1, com valor
f(1)=1\cdot0^{2}=0.

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