\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\operatorname{tg} x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0^{+}}x^{\tan x}.
Isso é uma forma do tipo 0^0, então vamos usar a transformação
x^{\tan x}=e^{\tan x\;\ln x},
e estudar o comportamento do expoente \tan x\,\ln x.

Passo 2

Como x\to0^{+}, sabemos que
\tan x = x + o(x).
Logo
\tan x\;\ln x = \bigl(x + o(x)\bigr)\ln x = x\ln x + o(x)\,\ln x.

Passo 3

Precisamos de
\lim_{x\to0^{+}}x\ln x.
Temos a forma 0\cdot(-\infty), mas é conhecido (ou via L’Hôpital reescrevendo como \ln x/(1/x)) que
\lim_{x\to0^{+}}x\ln x = 0.
Além disso \tfrac{o(x)}{x}\to0 e x\ln x\to0 implicam
\lim_{x\to0^{+}}o(x)\,\ln x = 0.
Portanto
\lim_{x\to0^{+}}\tan x\,\ln x = 0.

Passo 4

Como \tan x\,\ln x\to0, resulta
\lim_{x\to0^{+}}x^{\tan x} = \lim_{x\to0^{+}}e^{\tan x\,\ln x} = e^{0} =1.

Resposta

1

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