Encontre os valores de p \in \mathbb{N} para os quais f(x)=x^{p} seja uma função crescente em \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os p\in\mathbb{N} tais que a função
f(x)=x^{p}
seja crescente em todo \mathbb{R}.
Conteúdo necessário: teste de monotonicidade via derivada.

Passo 2

Uma função diferenciável é crescente em \mathbb{R} se a sua derivada satisfaz f'(x)\ge0 para todo x\in\mathbb{R}. Vamos calcular
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{p}\bigr)=p\,x^{p-1}.

Passo 3

Para que f'(x)=p\,x^{p-1} seja não negativa em todo x\in\mathbb{R}, precisamos que x^{p-1}\ge0 para todo x.
  • Se p-1 é par, então x^{p-1} é sempre \ge0, logo f'(x)=p\,x^{p-1}\ge0.
  • Se p-1 é ímpar, então x^{p-1} muda de sinal em x<0, fazendo f'(x) negativo para x<0.
Portanto, a condição é que p-1 seja par, isto é, p seja ímpar.

Resposta

Os valores de p\in\mathbb{N} que tornam f(x)=x^p crescente em \mathbb{R} são todos os números ímpares. Em outras palavras,
p=1,3,5,7,\dots

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