Em cada item encontre, se existirem, os extremos locais da função dada
(d) f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\left(x^{3}-1\right)\left(e^{x}-1\right).

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos locais da função
f(x) = (x^3 - 1)\,(e^x - 1)
no domínio \mathbb{R}.
O conteúdo que vamos usar é derivação de produto, solução de f'(x)=0 e critério da primeira derivada para classificar máximos e mínimos.

Passo 2

Vamos calcular f'(x) usando a regra do produto. Se
u(x)=x^3-1, \quad v(x)=e^x-1,
então
u'(x)=3x^2, \quad v'(x)=e^x.
Logo,
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = 3x^2\,(e^x-1) + (x^3-1)\,e^x.
Podemos reescrevê-la como
f'(x) = e^x\,(x^3+3x^2-1)\;-\;3x^2.

Passo 3

Procuramos as soluções de
f'(x)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad e^x\,(x^3+3x^2-1)=3x^2.
Analisando numericamente, notamos que para x<0 o lado esquerdo é menor e para x>1 passa a ser maior, encontrando uma única raiz em
x_c\approx0,68.
Mais precisamente, x_c satisfaz aproximadamente
e^{x_c}(x_c^3+3x_c^2-1)=3x_c^2,
e vale x_c\approx0,6805.

Passo 4

Para classificar o tipo de extremo fazemos o teste da primeira derivada:
  • Em x<x_c, toma-se um ponto como x=0 e vê-se f'(0)=-1<0, ou seja, f decresce antes de x_c.
  • Em x>x_c, toma-se x=1 e vê-se f'(1)=3(e-1)>0, ou seja, f cresce depois de x_c.
Isso mostra que em x=x_c há um ponto onde f passa de decrescente para crescente, caracterizando um mínimo local.

Passo 5

Calculamos o valor mínimo aproximado:
f(x_c) = (x_c^3-1)\,(e^{x_c}-1) \approx (0,6805^3-1)\,(e^{0,6805}-1) \approx -0,6852\times0,9747 \approx -0,668.

Resposta

A função tem um único extremo local, que é um mínimo em
x\approx0,6805, \quad f(x)\approx-0,668.

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