(2014-2) \lim _{x \rightarrow 0}\left(\operatorname{cossec} x-\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x \to 0}\Bigl(\csc x - \frac{1}{x}\Bigr).
O conteúdo aqui envolve limites que geram indeterminação do tipo \infty - \infty. Vamos precisar reescrever a diferença como uma única fração e usar expansão de Taylor (ou L’Hôpital) para avaliar o limite.

Passo 2

Observamos que, quando x\to0, \csc x = \frac{1}{\sin x}\to\infty e \tfrac1x\to\infty,
logo temos indeterminação \infty-\infty. Para contornar isso, escrevemos
\csc x - \frac{1}{x} = \frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x} = \frac{x - \sin x}{x\,\sin x}.

Passo 3

Agora analisamos
\lim_{x\to0} \frac{x - \sin x}{x\,\sin x}.
Tanto o numerador x-\sin x quanto o denominador x\sin x tendem a zero quando x\to0, gerando indeterminação 0/0.

Passo 4

Usamos a expansão de Taylor de \sin x em torno de 0:
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5).
Então
x - \sin x = x - \Bigl(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\Bigr) = \frac{x^3}{6} + O(x^5),
e
x\,\sin x = x\Bigl(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\Bigr) = x^2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6).

Passo 5

Substituindo nas frações, obtemos
\frac{x - \sin x}{x\,\sin x} = \frac{\frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x^2\bigl(1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)\bigr)} = \frac{x^3}{6\,x^2}\,\frac{1 + O(x^2)}{1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)} = \frac{x}{6}\,(1 + O(x^2)).
À medida que x\to0, isso tende a
\frac{x}{6}\to0.

Resposta

0

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