(2013-2)
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\operatorname{tg} x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0^{+}} x^{\tan x}.
O conteúdo aqui é lidar com uma forma indeterminada do tipo 0^0. Para resolver, vamos usar a estratégia de reescrever a potência em termos da função exponencial e do logaritmo natural.

Passo 2

Reescrevemos
x^{\tan x} =\exp\bigl(\ln\bigl(x^{\tan x}\bigr)\bigr) =\exp\bigl(\tan x\cdot\ln x\bigr).
Portanto o limite vira
\lim_{x\to0^{+}}x^{\tan x} =\exp\!\Bigl(\lim_{x\to0^{+}}\tan x\cdot\ln x\Bigr).

Passo 3

Agora vamos calcular
L=\lim_{x\to0^{+}}\tan x\cdot\ln x.
Para x próximo de zero vale \tan x\sim x, logo
\tan x\cdot\ln x\sim x\ln x.
Sabemos que
\lim_{x\to0^{+}}x\ln x =\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln x}{1/x}
é uma forma \tfrac{-\infty}{+\infty}. Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln x}{1/x} =\lim_{x\to0^{+}}\frac{(1/x)}{(-1/x^2)} =\lim_{x\to0^{+}}(-x)=0.
Logo L=0.

Passo 4

Como o expoente tende a zero, temos
\lim_{x\to0^{+}}x^{\tan x} =\exp(L)=\exp(0)=1.

Resposta

1

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