Em cada item encontre o fator de integração que torna a E.D.O. exata e o use para resolvê-la.
Passo 1
Temos a EDO
, com
. O conteúdo é equações diferenciais exatas e fator integrante. Vamos testar exatidão, achar um fator integrante
, multiplicar a EDO e resolver.
Passo 2
Identificamos
e
. Calculamos as derivadas parciais
Como não são iguais, a EDO não é exata.
Passo 3
Para buscar um fator integrante dependente só de
, usamos a condição
que é função apenas de
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a EDO por
e obtemos
Aqui
e
. Verificamos
logo a equação está exata.
Passo 5
Procuramos uma função
tal que
Integrando
em relação a
:
Derivando em relação a
:
e igualando a
vem
, isto é,
é constante.
Passo 6
A solução implícita da EDO é
ou seja
Resposta
xy + \frac{x^2}{2} + \ln x = C