Em cada item encontre o fator de integração que torna a E.D.O. exata e o use para resolvê-la.
(x y+x^2+1) d x+x^2 d y=0, x>0

Passo 1

Temos a EDO (x y + x^2 + 1),dx + x^2,dy = 0, com x>0. O conteúdo é equações diferenciais exatas e fator integrante. Vamos testar exatidão, achar um fator integrante mu(x), multiplicar a EDO e resolver.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=x y + x^2 + 1 e N(x,y)=x^2. Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = x,
partial Npartial x = 2x
Como não são iguais, a EDO não é exata.

Passo 3

Para buscar um fator integrante dependente só de x, usamos a condição
1Nl(partial Mpartial y - partial Npartial xr) = x-2xx^2 = -1x,
que é função apenas de x. Logo
mu(x) = expl(integral -1x,dxr) = exp(-ln x) = x^-1

Passo 4

Multiplicamos a EDO por mu(x)=1/x e obtemos
(y + x + x^-1),dx + x,dy = 0
Aqui M^*(x,y)=y+x+x^-1 e N^*(x,y)=x. Verificamos
partial M^*partial y = 1,
partial N^*partial x = 1,
logo a equação está exata.

Passo 5

Procuramos uma função phi(x,y) tal que
partial phipartial x = y + x + x^-1,
partial phipartial y = x
Integrando phix em relação a x:
phi(x,y) = integral (y + x + x^-1),dx = xy + x^22 + ln x + h(y)
Derivando em relação a y:
phiy = x + h'(y)
e igualando a x vem h'(y)=0, isto é, h(y) é constante.

Passo 6

A solução implícita da EDO é
phi(x,y) = C
ou seja
xy + x^22 + ln x = C

Resposta

xy + \frac{x^2}{2} + \ln x = C

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