Questão 2 ( 1,5 pontos). Considere f(x)=x+1x e g(x)=x+1x+2.
a) Determine g circ f(x).
b) Determine o domínio de g circ f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem duas funções aqui: $ f(x) = x + \frac{1}{x} $ e $ g(x) = \frac{x + 1}{x + 2} $. O que a gente vai precisar saber é como compor funções, ou seja, calcular $ g \circ f(x) $, que significa aplicar uma função dentro da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ g \circ f(x) $. Isso quer dizer que a gente vai substituir $ f(x) $ na função $ g(x) $. Então, vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

Vamos substituir $ f(x) $ na expressão de $ g(x) $:
f(x)
Agora, vamos substituir $ f(x) = x + \frac{1}{x} $ na expressão acima:
g(x)

Passo 4

Vamos simplificar o numerador e o denominador:
No numerador:
x + 1x + 1 = x^2 + x + 1x
No denominador:
x + 1x + 2 = x^2 + x + 2x

Passo 5

Agora, substituímos essas simplificações na fração:
g(f(x)) = x^2 + x + 1xx^2 + x + 2x = x^2 + x + 1x^2 + x + 2

Passo 6

Agora, vamos determinar o domínio de $ g \circ f(x) $. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida.
Primeiro, sabemos que $ f(x) = x + \frac{1}{x} $ está definida para $ x \neq 0 $, porque não dá para dividir por zero.
Além disso, na função composta $ g(f(x)) = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + x + 2} $, o denominador $ x^2 + x + 2 $ nunca é zero, porque o discriminante dessa equação quadrática é negativo ($ 1 - 8 = -7 $), o que significa que não há raízes reais.

Resposta

a) A função composta é:
g circ f(x) = x^2 + x + 1x^2 + x + 2
b) O domínio de $ g \circ f $ é todos os números reais, exceto $ x = 0 $:
g circ f

Exercícios relacionados