Questão 2 ( 1,5 pontos). Considere
e
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a) Determine
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b) Determine o domínio de
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a) Determine
b) Determine o domínio de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem duas funções aqui: $ f(x) = x + \frac{1}{x} $ e $ g(x) = \frac{x + 1}{x + 2} $. O que a gente vai precisar saber é como compor funções, ou seja, calcular $ g \circ f(x) $, que significa aplicar uma função dentro da outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ g \circ f(x) $. Isso quer dizer que a gente vai substituir $ f(x) $ na função $ g(x) $. Então, vamos fazer isso passo a passo.
Passo 3
Vamos substituir $ f(x) $ na expressão de $ g(x) $:
Agora, vamos substituir $ f(x) = x + \frac{1}{x} $ na expressão acima:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador e o denominador:
No numerador:
No denominador:
Passo 5
Agora, substituímos essas simplificações na fração:
Passo 6
Agora, vamos determinar o domínio de $ g \circ f(x) $. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida.
Primeiro, sabemos que $ f(x) = x + \frac{1}{x} $ está definida para $ x \neq 0 $, porque não dá para dividir por zero.
Além disso, na função composta $ g(f(x)) = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + x + 2} $, o denominador $ x^2 + x + 2 $ nunca é zero, porque o discriminante dessa equação quadrática é negativo ($ 1 - 8 = -7 $), o que significa que não há raízes reais.
Resposta
a) A função composta é:
b) O domínio de $ g \circ f $ é todos os números reais, exceto $ x = 0 $: