Questão 1 (1,5 pontos).
Encontre o domínio da função .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar o domínio da função y = ln (x^2 - 2x - 8). O domínio é simplesmente todos os valores de x que fazem a função valer algum número real. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre funções logarítmicas e inequações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural ln(a) só está definido quando o argumento a é maior que zero. Então, para nossa função, precisamos que:
x^2 - 2x - 8 > 0
Isso significa que a expressão quadrática dentro do logaritmo tem que ser positiva.

Passo 3

Vamos resolver a inequação x^2 - 2x - 8 > 0. Para isso, primeiro vamos encontrar as raízes da equação quadrática x^2 - 2x - 8 = 0. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1, b = -2 e c = -8.

Passo 4

Aplicando os valores na fórmula:
x = -(-2) pm raiz(-2)^2 - 4 times 1 times (-8)2 times 1 = 2 pm raiz4 + 322 = 2 pm raiz362 = 2 pm 62
Então, as raízes são:
x = 2 + 62 = 4 e x = 2 - 62 = -2

Passo 5

Agora que encontramos as raízes x = -2 e x = 4, vamos analisar onde a função quadrática x^2 - 2x - 8 é positiva. Sabemos que uma parábola com coeficiente quadrático positivo ( a > 0) abre para cima. Assim, a expressão será positiva fora das raízes.

Passo 6

Então, a inequação x^2 - 2x - 8 > 0 é verdadeira para:
x < -2 ou x > 4
Esses são os valores de x que fazem o argumento do logaritmo ser positivo.

Resposta

Portanto, o domínio da função y = ln (x^2 - 2x - 8) é:
x in (-infty, -2) cup (4, infty)

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