Em cada item encontre o fator de integração que torna a E.D.O. exata e o use para resolvê-la.
x^2-y^2+2 x y d yd x=0

Passo 1

Estamos resolvendo a E.D.O.
x^2-y^2+2xydydx=0
que pertence ao conteúdo de equações diferenciais exatas e fatores de integração. Precisamos transformar essa equação na forma
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
identificar que não é exata e buscar um fator de integração adequado.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a equação isolando os diferenciais e identificamos
M(x,y)=x^2-y^2,
N(x,y)=2xy
Para verificar exatidão calculamos
partial Mpartial y=-2y,
partial Npartial x=2y
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator de integração que dependa apenas de x. Sabemos que se
partial Mpartial y-partial Npartial xN
for função só de x, existe mu(x). Calculamos:
-2y-2y2xy=-4y2xy=-2x,
que realmente depende apenas de x.

Passo 4

Portanto o fator de integração é
mu(x)=expl(integral -2x,dxr)=exp(-2ln|x|)=x^-2
Multiplicamos M e N por x^-2:
M^*=1-y^2x^2,
N^*=2yx

Passo 5

Verificamos que agora
partial M^*partial y=-2yx^2,
partial N^*partial x=-2yx^2,
logo a equação M^*,dx+N^*,dy=0 é exata. Procuramos uma função potencial phi(x,y) tal que
partial phipartial x=1-y^2x^2
Integrando em relação a x:
phi(x,y)=x+y^2x+g(y)
Derivando em relação a y e igualando a N^*:
partial phipartial y=2yx+g'(y)=2yx,
logo g'(y)=0 e g(y) é constante.

Passo 6

A solução geral implícita da E.D.O. fica
phi(x,y)=x+y^2x=C,
onde C é uma constante de integração.

Resposta

x+\frac{y^{2}}{x}=C

Exercícios relacionados