Em cada item encontre o fator de integração que torna a E.D.O. exata e o use para resolvê-la.
Passo 1
Estamos resolvendo a E.D.O.
que pertence ao conteúdo de equações diferenciais exatas e fatores de integração. Precisamos transformar essa equação na forma
identificar que não é exata e buscar um fator de integração adequado.
Passo 2
Primeiro reescrevemos a equação isolando os diferenciais e identificamos
Para verificar exatidão calculamos
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Buscamos um fator de integração que dependa apenas de
. Sabemos que se
for função só de
, existe
. Calculamos:
que realmente depende apenas de
.
Passo 4
Portanto o fator de integração é
Multiplicamos
e
por
:
Passo 5
Verificamos que agora
logo a equação
é exata. Procuramos uma função potencial
tal que
Integrando em relação a
:
Derivando em relação a
e igualando a
:
logo
e
é constante.
Passo 6
A solução geral implícita da E.D.O. fica
onde
é uma constante de integração.
Resposta
x+\frac{y^{2}}{x}=C