Questão 3 ( 2,5 pontos). Calcule os limites:
lim t 1 t^3+2 t^2-t-2t^2-4 t+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando $ t $ se aproxima de 1 da expressão t . Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com limites de funções racionais (ou seja, frações de polinômios) e como fatorar polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir $ t = 1 $ diretamente na expressão para ver o que acontece:
t = 1
Obtemos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos simplificar a fração para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar algum fator comum.
Numerador: $ t^{3} + 2 t^{2} - t - 2 $
Vamos tentar fatorar por agrupamento:
t^3 + 2 t^2 - t - 2
Agora, percebemos que $ t^{2} -1 $ pode ser fatorado como $ (t - 1)(t + 1) $. Então:
t^3 + 2 t^2 - t - 2 = t^2(t + 2) -1(t + 2) = (t^2 -1)(t + 2)
Denominador: $ t^{2} - 4 t + 3 $
Vamos fatorar:
t^2 -1

Passo 4

Agora que fatoramos, a expressão fica:
(t - 1)(t + 1)(t + 2)(t - 1)(t - 3)
Podemos cancelar o fator comum $ (t - 1) $, desde que $ t \neq 1 $:
(t - 1)

Passo 5

Agora, substituímos $ t = 1 $ na expressão simplificada:
t = 1

Resposta

O limite é igual a -3.

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