Questão 3 ( 2,5 pontos). Calcule os limites:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando $ t $ se aproxima de 1 da expressão
. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com limites de funções racionais (ou seja, frações de polinômios) e como fatorar polinômios para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir $ t = 1 $ diretamente na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $, o que significa que precisamos simplificar a fração para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar algum fator comum.
Numerador: $ t^{3} + 2 t^{2} - t - 2 $
Vamos tentar fatorar por agrupamento:
Agora, percebemos que $ t^{2} -1 $ pode ser fatorado como $ (t - 1)(t + 1) $. Então:
Denominador: $ t^{2} - 4 t + 3 $
Vamos fatorar:
Passo 4
Agora que fatoramos, a expressão fica:
Podemos cancelar o fator comum $ (t - 1) $, desde que $ t \neq 1 $:
Passo 5
Agora, substituímos $ t = 1 $ na expressão simplificada:
Resposta
O limite é igual a
.