Em cada item, encontre a maior vizinhança do x0 indicado que satisfaz a desigualdade dada e a expresse na forma |x-x0|. |arctan (x)-pi8|.

Passo 1

O enunciado pede para achar, em volta de x₀=2/3, o maior intervalo simétrico |x−x₀|<r tal que a desigualdade |arctan(x)−π/8|<π/8 se mantenha. O conteúdo é manipular inequações com funções inversas (arctan e tan) aproveitando que arctan é crescente.

Passo 2

Começamos reescrevendo a desigualdade como duas: −π/8<arctan(x)−π/8<π/8. Somando π/8 a todos os termos, obtemos 0<arctan(x)<π/4.
Como arctan é estritamente crescente, podemos aplicar a função tangente (tan) — que é a inversa de arctan no intervalo considerado — preservando a desigualdade. Logo x deve satisfazer 0< x <1.

Passo 3

Isso mostra que a condição |arctan(x)−π/8|<π/8 equivale a x∈(0,1). Queremos então o maior intervalo centrado em x₀=2/3 contido em (0,1).
O intervalo centrado em 2/3 de raio r é (2/3−r, 2/3+r). Para ficar dentro de (0,1) precisamos de 2/3−r>0 e 2/3+r<1. Essas duas condições levam a r<2/3 e r<1/3.

Passo 4

O maior valor de r que satisfaz r<2/3 e r<1/3 é r=1/3. Portanto, o maior intervalo procurado é |x−2/3|<1/3.

Resposta

|x−2/3|<1/3

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