Em cada item, encontre a maior vizinhança do
indicado que satisfaz a desigualdade dada e a expresse na forma
.
.
Passo 1
O enunciado pede para achar, em volta de x₀=2/3, o maior intervalo simétrico |x−x₀|<r tal que a desigualdade |arctan(x)−π/8|<π/8 se mantenha. O conteúdo é manipular inequações com funções inversas (arctan e tan) aproveitando que arctan é crescente.
Passo 2
Começamos reescrevendo a desigualdade como duas: −π/8<arctan(x)−π/8<π/8. Somando π/8 a todos os termos, obtemos 0<arctan(x)<π/4.
Como arctan é estritamente crescente, podemos aplicar a função tangente (tan) — que é a inversa de arctan no intervalo considerado — preservando a desigualdade. Logo x deve satisfazer 0< x <1.
Como arctan é estritamente crescente, podemos aplicar a função tangente (tan) — que é a inversa de arctan no intervalo considerado — preservando a desigualdade. Logo x deve satisfazer 0< x <1.
Passo 3
Isso mostra que a condição |arctan(x)−π/8|<π/8 equivale a x∈(0,1). Queremos então o maior intervalo centrado em x₀=2/3 contido em (0,1).
O intervalo centrado em 2/3 de raio r é (2/3−r, 2/3+r). Para ficar dentro de (0,1) precisamos de 2/3−r>0 e 2/3+r<1. Essas duas condições levam a r<2/3 e r<1/3.
O intervalo centrado em 2/3 de raio r é (2/3−r, 2/3+r). Para ficar dentro de (0,1) precisamos de 2/3−r>0 e 2/3+r<1. Essas duas condições levam a r<2/3 e r<1/3.
Passo 4
O maior valor de r que satisfaz r<2/3 e r<1/3 é r=1/3. Portanto, o maior intervalo procurado é |x−2/3|<1/3.
Resposta
|x−2/3|<1/3