Em cada item, encontre a matriz jacobiana e calcule o jacobiano para a transformação dada.
lx=a r cos theta y=b r sen theta.

Passo 1

Vamos trabalhar com a transformação
T(r,theta)=(x,y) definida por
x = a,rcostheta, y = b,rsintheta,
onde a,b são constantes reais. O que precisamos é usar a definição de matriz jacobiana, isto é, calcular as derivadas parciais de x e y em relação a r e theta, e depois obter o determinante dessa matriz (o jacobiano).

Passo 2

Para encontrar as derivadas parciais de x, lembramos que x = a,rcostheta. Assim:
partial xpartial r = acostheta,
partial xpartial theta = a,r,( -sintheta) = -a,rsintheta

Passo 3

Agora fazemos o mesmo para y = b,rsintheta. Obtém-se:
partial ypartial r = bsintheta,
partial ypartial theta = b,rcostheta

Passo 4

Com essas derivadas, montamos a matriz jacobiana J de (x,y) em relação a (r,theta):
J = dfracpartial xpartial r & dfracpartial xpartial theta dfracpartial ypartial r & dfracpartial ypartial theta = acostheta & -a,rsintheta bsintheta & b,rcostheta

Passo 5

Para achar o jacobiano (determinante de J), calculamos
det(J) = (acostheta)(b,rcostheta) - (-a,rsintheta)(bsintheta)
Simplificando,
det(J) = ab,rcos^2theta + ab,rsin^2theta = ab,r(cos^2theta + sin^2theta)
Como cos^2theta + sin^2theta = 1, segue que
det(J) = a b r

Resposta

Matriz jacobiana:
J = acostheta & -a,rsintheta bsintheta & b,rcostheta
Jacobian o determinante de J:
det(J) = a b r

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