Em cada item, encontre a matriz jacobiana e calcule o jacobiano para a transformação dada.
lx=a u y=b v.

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar, para a transformação x = a u e y = b v com a,b constantes, a matriz jacobiana (que contém todas as derivadas parciais de x,y em relação a u,v) e o jacobiano (o determinante dessa matriz). Vamos usar a definição de derivadas parciais e determinantede matrizes.

Passo 2

Para lembrar: a matriz jacobiana J de uma transformação (u,v) mapsto (x(u,v),y(u,v)) é definida como
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v
E o jacobiano é det(J).

Passo 3

Agora calculamos cada derivada parcial:
  • partial xpartial u = partial (a u)partial u = a
  • partial xpartial v = partial (a u)partial v = 0
  • partial ypartial u = partial (b v)partial u = 0
  • partial ypartial v = partial (b v)partial v = b

Passo 4

Com essas derivadas, montamos a matriz jacobiana:
J = a & 0 0 & b

Passo 5

Para finalizar, calculamos o jacobiano, ou seja, o determinante de J:
det(J) = a cdot b - 0 cdot 0 = ab

Resposta

Matriz jacobiana J = a & 0 0 & b e jacobiano det(J)=ab.

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