Em cada item, encontre a matriz jacobiana e calcule o jacobiano para a transformação dada. \left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\\ y=r \operatorname{sen} \theta\end{array}\right..
Passo 1
O enunciado dá a transformação de coordenadas polares para cartesianas:
\begin{cases} x = r \cos \theta\\[4pt] y = r \operatorname{sen} \theta \end{cases}
O que se pede:
A matriz jacobiana (matriz das derivadas parciais) da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y).
O jacobiano, isto é, o determinante dessa matriz (usado, por exemplo, para trocar a variável em integrais de área).]
Passo 2
Definição prática que vamos usar (muito importante saber na prova):
Para uma transformação (u_1,u_2)\mapsto(x_1,x_2), a matriz jacobiana é a matriz 2\times2 cujas entradas são as derivadas parciais \dfrac{\partial x_i}{\partial u_j}. No nosso caso u_1=r, u_2=\theta, x_1=x, x_2=y. Assim a matriz jacobiana é
Explicando o que cada entrada significa: por exemplo \dfrac{\partial x}{\partial r} é a taxa de variação de x quando só r varia (mantendo \theta fixo), e assim por diante.]
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial devagarinho (sem pular etapas).
Calcular \dfrac{\partial x}{\partial r}. Como x=r\cos\theta e \cos\theta é considerado constante quando derivamos em relação a r,
\dfrac{\partial x}{\partial r}=\cos\theta.
Calcular \dfrac{\partial x}{\partial \theta}. Aqui r é tratado como constante, e derivada de \cos\theta é -\operatorname{sen}\theta, então
Usando a identidade trigonométrica \cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta=1, obtemos
\det J(r,\theta)=r.
Interpretação rápida e útil para prova: o fator r é o fator de escala de área quando trocamos de (x,y) para (r,\theta); em integrais de área aparece como dx\,dy = | \det J |\, dr\, d\theta = r\,dr\,d\theta (normalmente toma-se r\ge 0 e o valor absoluto não altera).