Em cada item, encontre a matriz jacobiana e calcule o jacobiano para a transformação dada.
\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\\ y=r \operatorname{sen} \theta\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado dá a transformação de coordenadas polares para cartesianas:
\begin{cases} x = r \cos \theta\\[4pt] y = r \operatorname{sen} \theta \end{cases}
O que se pede:
  • A matriz jacobiana (matriz das derivadas parciais) da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y).
  • O jacobiano, isto é, o determinante dessa matriz (usado, por exemplo, para trocar a variável em integrais de área).]

Passo 2

Definição prática que vamos usar (muito importante saber na prova):
Para uma transformação (u_1,u_2)\mapsto(x_1,x_2), a matriz jacobiana é a matriz 2\times2 cujas entradas são as derivadas parciais \dfrac{\partial x_i}{\partial u_j}. No nosso caso u_1=r, u_2=\theta, x_1=x, x_2=y. Assim a matriz jacobiana é
\begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta}\\[6pt] \dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix}.
Explicando o que cada entrada significa: por exemplo \dfrac{\partial x}{\partial r} é a taxa de variação de x quando só r varia (mantendo \theta fixo), e assim por diante.]

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial devagarinho (sem pular etapas).
  • Calcular \dfrac{\partial x}{\partial r}. Como x=r\cos\theta e \cos\theta é considerado constante quando derivamos em relação a r,
\dfrac{\partial x}{\partial r}=\cos\theta.
  • Calcular \dfrac{\partial x}{\partial \theta}. Aqui r é tratado como constante, e derivada de \cos\theta é -\operatorname{sen}\theta, então
\dfrac{\partial x}{\partial \theta}=r\cdot\frac{d}{d\theta}(\cos\theta)=r(-\operatorname{sen}\theta)=-r\operatorname{sen}\theta.
  • Calcular \dfrac{\partial y}{\partial r}. Como y=r\operatorname{sen}\theta e \operatorname{sen}\theta é constante em relação a r,
\dfrac{\partial y}{\partial r}=\operatorname{sen}\theta.
  • Calcular \dfrac{\partial y}{\partial \theta}. Mantendo r fixo e derivando \operatorname{sen}\theta (que tem derivada \cos\theta),
\dfrac{\partial y}{\partial \theta}=r\cdot\frac{d}{d\theta}(\operatorname{sen}\theta)=r\cos\theta.

Passo 4

Agora montamos a matriz jacobiana com essas entradas:
J(r,\theta)= \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\operatorname{sen}\theta\\[6pt] \operatorname{sen}\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}.
Essa é a resposta para a matriz jacobiana. Repare que cada entrada foi obtida diretamente das derivadas parciais que calculamos.]

Passo 5

Vamos calcular o jacobiano (determinante da matriz 2\times2). Lembrete: para uma matriz
\begin{pmatrix} a & b\\\ c & d\end{pmatrix}
o determinante é ad-bc. Aplicando isso em J(r,\theta):
\det J(r,\theta)=\big(\cos\theta\big)\big(r\cos\theta\big)-\big(-r\operatorname{sen}\theta\big)\big(\operatorname{sen}\theta\big).
Agora simplificamos passo a passo:
\det J(r,\theta)=r\cos^2\theta + r\operatorname{sen}^2\theta = r\big(\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta\big).
Usando a identidade trigonométrica \cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta=1, obtemos
\det J(r,\theta)=r.
Interpretação rápida e útil para prova: o fator r é o fator de escala de área quando trocamos de (x,y) para (r,\theta); em integrais de área aparece como dx\,dy = | \det J |\, dr\, d\theta = r\,dr\,d\theta (normalmente toma-se r\ge 0 e o valor absoluto não altera).

Resposta

J(r,\theta)= \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\operatorname{sen}\theta\\[6pt] \operatorname{sen}\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}
\det J(r,\theta)=r]

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