Em cada item, utilize a transformação dada para descrever por variação dos parâmetros a região do plano u v correspondente à região R do plano x y.
\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{\frac{u}{v}} \\\ y=\sqrt{u v}\end{array}\right. e R é a região do primeiro quadrante limitada pelas equações x y=1, x y=4, y=x е y=4 x.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação
\begin{cases} x=\sqrt{\dfrac{u}{v}}\\[6pt] y=\sqrt{u v} \end{cases}
e a região R no plano xy é a parte do primeiro quadrante limitada pelas curvas
x y = 1,\qquad x y = 4,\qquad y = x,\qquad y = 4x.
A tarefa é descrever, em termos de variação dos parâmetros u e v, a região do plano uv que corresponde a R.]

Passo 2

Vamos achar expressões de u e v em função de x e y (ou seja, a inversa da transformação), passo a passo e de forma clara.
Calcule x y usando as fórmulas dadas:
x y = \sqrt{\dfrac{u}{v}}\;\sqrt{u v}.
Dentro da raiz multiplicam-se os radicandos:
\dfrac{u}{v}\cdot u v = u^2.
Logo
x y = \sqrt{u^2}.
Como estamos no primeiro quadrante, x>0 e y>0, portanto \sqrt{u^2}=u com u>0. Concluímos que
u = x y.
Agora calcule a razão y/x:
\dfrac{y}{x} = \dfrac{\sqrt{u v}}{\sqrt{u/v}}.
Multiplicando sob as raízes:
\dfrac{u v}{u/v} = v^2,
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\dfrac{y}{x} = \sqrt{v^2}.
De novo, no primeiro quadrante y/x>0, então \sqrt{v^2}=v com v>0. Portanto
v = \dfrac{y}{x}.
Resumo: a inversa é simplesmente
u = x y,\qquad v = \dfrac{y}{x},
e observe que, para pontos do primeiro quadrante, temos u>0 e v>0.

Passo 3

Agora mapeamos as curvas que limitam R para equações em u,v, usando u=x y e v=y/x.
  • A curva x y = 1: substituindo u=x y obtemos
u = 1.
  • A curva x y = 4: análogo,
u = 4.
  • A curva y = x: calculando v temos
v = \dfrac{y}{x} = \dfrac{x}{x} = 1,
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v = 1.
  • A curva y = 4x: então
v = \dfrac{y}{x} = \dfrac{4x}{x} = 4,
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v = 4.
Portanto as quatro curvas que limitam R em coordenadas xy viram as retas verticais e horizontais u=1, u=4, v=1, v=4 no plano uv.

Passo 4

Interpretando geometricamente: as curvas limitantes de R mapeiam-se em quatro retas paralelas formando um retângulo no plano uv. Como R está no primeiro quadrante, garantimos u>0 e v>0, e das igualdades das bordas vemos que o retângulo é exatamente o conjunto de pontos com u entre 1 e 4 e v entre 1 e 4.
Também vale notar (para segurança na hora da prova) que a transformação é bijetiva entre a parte do primeiro quadrante em xy e a parte positiva do plano uv: dados u>0, v>0 recupera-se
x=\sqrt{\dfrac{u}{v}},\qquad y=\sqrt{u v},
com x>0,y>0. Assim o interior de R corresponde ao interior desse retângulo em uv.

Resposta

\{(u,v)\mid 1 \le u \le 4,\; 1 \le v \le 4\}

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