Em cada item, encontre a matriz jacobiana e calcule o jacobiano para a transformação dada.
lx=a u+b v y=c u+d v.

Passo 1

O exercício pede para achar a matriz jacobiana e o jacobiano da transformação
x = a,u + b,v y = c,u + d,v O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais para montar a matriz jacobiana e depois calcular o determinante dessa matriz.

Passo 2

Para montar a matriz jacobiana, precisamos das derivadas parciais de x e y em relação a u e v. Lembrando que derivada parcial é a taxa de variação de uma função quando uma variável muda e a outra fica fixa. Como
x = a,u + b,v
temos
partial xpartial u = a, partial xpartial v = b
E como
y = c,u + d,v
segue que
partial ypartial u = c, partial ypartial v = d

Passo 3

Juntando essas derivadas, a matriz jacobiana J fica
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = a & b c & d

Passo 4

O jacobiano é o determinante de J. Para uma matriz 2times2, usamos a regra
deta & b c & d = a,d - b,c
Logo, o jacobiano da transformação é ad - bc.

Resposta

Matriz jacobiana: J = a & bc & d; Jacobiano: det J = ad - bc.

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