Em cada item, encontre a matriz jacobiana e calcule o jacobiano para a transformação dada. .
Passo 1
Nesse exercício vamos trabalhar com transformações de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas. O conteúdo principal envolve derivadas parciais e montagem da matriz jacobiana, além de calcular seu determinante (o jacobiano).
Passo 2
Primeiro, vamos obter as derivadas parciais de cada componente. Para x=rhosinphicostheta:
Para achar o jacobiano (o determinante de J), podemos perceber fatores comuns em cada coluna e usar propriedades de determinantes. Extraindo rho da segunda e terceira colunas e usando o fato de o determinante de uma rotação simples em (phi,theta) gerar sinphi, obtemos: