Em cada item, encontre a matriz jacobiana e calcule o jacobiano para a transformação dada.
lx=rho sen phi cos theta y=rho sen phi sen theta z=rho cos phi.

Passo 1

Nesse exercício vamos trabalhar com transformações de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas. O conteúdo principal envolve derivadas parciais e montagem da matriz jacobiana, além de calcular seu determinante (o jacobiano).

Passo 2

Primeiro, vamos obter as derivadas parciais de cada componente. Para x=rhosinphicostheta:
partial xpartialrho=sinphicostheta, partial xpartialphi=rhocosphicostheta, partial xpartialtheta=-rhosinphisintheta
Para y=rhosinphisintheta:
partial ypartialrho=sinphisintheta, partial ypartialphi=rhocosphisintheta, partial ypartialtheta=rhosinphicostheta
Para z=rhocosphi:
partial zpartialrho=cosphi, partial zpartialphi=-rhosinphi, partial zpartialtheta=0

Passo 3

Com as derivadas em mãos, montamos a matriz jacobiana J cujos elementos Jij=partial(componente i)/partial(variável j)á:
J= sinphicostheta & rhocosphicostheta & -rhosinphisintheta sinphisintheta & rhocosphisintheta & rhosinphicostheta cosphi & -rhosinphi & 0

Passo 4

Para achar o jacobiano (o determinante de J), podemos perceber fatores comuns em cada coluna e usar propriedades de determinantes. Extraindo rho da segunda e terceira colunas e usando o fato de o determinante de uma rotação simples em (phi,theta) gerar sinphi, obtemos:
det J=rho^2sinphi

Resposta

Matriz jacobiana:
J= sinphicostheta & rhocosphicostheta & -rhosinphisintheta sinphisintheta & rhocosphisintheta & rhosinphicostheta cosphi & -rhosinphi & 0
Jacobian (determinante):
det J=rho^2sinphi

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