Em cada item, utilize coordenadas esféricas para descrever a região.
Região do primeiro octante dentro da esfera x^2+y^2+z^2=1

Passo 1

O enunciado pede para descrever, em coordenadas esféricas, a região do primeiro octante que está dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1. O conteúdo é mudança de coordenadas cartesianas para esféricas e precisamos usar a definição de (rho,theta,phi) e as condições de contorno para a esfera e para o primeiro octante.

Passo 2

Nas coordenadas esféricas adotaremos a convenção
x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi,
com rho>=0, 0<=phi<=pi (ângulo polar medido a partir do eixo z) e 0<=theta<=2pi (ângulo azimutal no plano xy).

Passo 3

A condição de estar dentro da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 torna-se rho^2 = x^2+y^2+z^2 <=1, ou seja,
0 <= rho <= 1

Passo 4

Para garantir que o ponto esteja no primeiro octante, exigimos x>=0, y>=0 e z>=0. Isso implica:
  • x>=0 e y>=0 dão 0<=theta<=tfracpi2.
  • z>=0 0<=phi<=tfracpi2.

Passo 5

Combinando todas as desigualdades, a descrição da região em coordenadas esféricas é:
0 <= rho <= 1, 0 <= theta <= pi2, 0 <= phi <= pi2

Resposta

0 <= rho <= 1,;0 <= theta <= tfracpi2,;0 <= phi <= tfracpi2

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