Em cada item, encontre a matriz jacobiana e calcule o jacobiano para a transformação dada. .
Passo 1
O enunciado dá uma transformação de variáveis T:(u,v,w)mapsto(x,y,z) definida por x=uv, y=vw e z=wu. O conteúdo aqui é cálculo da matriz jacobiana e do determinante da jacobiana (o jacobiano). Vamos usar a definição de derivadas parciais e a fórmula do determinante de uma matriz 3×3.
Passo 2
Para montar a matriz jacobiana JT(u,v,w), aplicamos a definição: cada entrada (i,j) é partial (componente i)partial(variável j)á. As variáveis de entrada são (u,v,w) e as saídas são (x,y,z).
Calculando as derivadas parciais e organizando em blocos, obtemos a matriz
$$
J_T(u,v,w)= JT(u,v,w)= partial xpartial u & partial xpartial v & partial xpartial w partial ypartial u & partial ypartial v & partial ypartial w partial zpartial u & partial zpartial v & partial zpartial w = v & u & 0 0 & w & v w & 0 & u
.
$$
Passo 3
Para achar o jacobiano, calculamos o determinante de JT(u,v,w). Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores na primeira linha:
det JT = v,(wcdot u - vcdot 0) - u,(0cdot u - vcdot w) + 0cdot(0cdot 0 - wcdot w)
Simplificando temos
det JT = vwu - u(-vw) = vwu + uvw = 2uvw
Resposta
A matriz jacobiana é JT(u,v,w)=v & u & 00 & w & vw & 0 & u e o jacobiano (determinante) é 2uvw.