Encontre o limite ou mostre que nāo existe.
lim (x, y) (0,0) x^2 y-y^3x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite de uma função de duas variáveis. O enunciado é:
lim (x, y) (0,0) x^2 y - y^3x^2 + y^2
Aqui, estamos trabalhando com limites em funções de duas variáveis, uma parte importante do cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar verificar se o limite existe ou não, analisando diferentes caminhos que (x, y) pode seguir para chegar a (0,0).

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo x, ou seja, quando y = 0. Substituindo y por 0 na função:
x^2 cdot 0 - 0^3x^2 + 0^2 = 0x^2 = 0
Então, nesse caminho, o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo y, ou seja, quando x = 0. Substituindo x por 0 na função:
0^2 cdot y - y^30^2 + y^2 = -y^3y^2 = -y
À medida que y se aproxima de 0, -y também se aproxima de 0. Portanto, nesse caminho, o limite também é 0.

Passo 4

Vamos testar um caminho diferente para ver se o limite permanece o mesmo. Vamos assumir que y = kx, onde k é uma constante. Substituindo y por kx na função:
x^2 cdot kx - (k x)^3x^2 + (k x)^2 = kx^3 - k^3x^3x^2 + k^2x^2 = x^3(k - k^3)x^2(1 + k^2) = x(k - k^3)1 + k^2
Agora, quando x se aproxima de 0, o numerador x(k - k³) também se aproxima de 0, então o limite é 0 nesse caminho também.

Passo 5

Para verificar a existência do limite, precisamos garantir que ele seja o mesmo independentemente do caminho escolhido. Porém, vamos tentar um caminho mais complexo, como y = x².
Substituindo y por x²:
x^2 cdot x^2 - (x^2)^3x^2 + (x^2)^2 = x^4 - x^6x^2 + x^4 = x^4(1 - x^2)x^2(1 + x^2) = x^2(1 - x^2)1 + x^2
À medida que x se aproxima de 0, x² também se aproxima de 0, então o limite é 0 nesse caminho.

Passo 6

Finalmente, vamos verificar um caminho onde y = x. Substituindo y por x:
x^2 cdot x - x^3x^2 + x^2 = x^3 - x^32x^2 = 02x^2 = 0
Mais uma vez, o limite é 0.

Resposta

Como o limite é 0 em todos os caminhos testados, podemos concluir que:
lim (x, y) (0,0) x^2 y - y^3x^2 + y^2 = 0

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