Encontre o limite ou mostre que nāo existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite de uma função de duas variáveis. O enunciado é:
Aqui, estamos trabalhando com limites em funções de duas variáveis, uma parte importante do cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar verificar se o limite existe ou não, analisando diferentes caminhos que (x, y) pode seguir para chegar a (0,0).
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo x, ou seja, quando y = 0. Substituindo y por 0 na função:
Então, nesse caminho, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo y, ou seja, quando x = 0. Substituindo x por 0 na função:
À medida que y se aproxima de 0, -y também se aproxima de 0. Portanto, nesse caminho, o limite também é 0.
Passo 4
Vamos testar um caminho diferente para ver se o limite permanece o mesmo. Vamos assumir que y = kx, onde k é uma constante. Substituindo y por kx na função:
Agora, quando x se aproxima de 0, o numerador x(k - k³) também se aproxima de 0, então o limite é 0 nesse caminho também.
Passo 5
Para verificar a existência do limite, precisamos garantir que ele seja o mesmo independentemente do caminho escolhido. Porém, vamos tentar um caminho mais complexo, como y = x².
Substituindo y por x²:
À medida que x se aproxima de 0, x² também se aproxima de 0, então o limite é 0 nesse caminho.
Passo 6
Finalmente, vamos verificar um caminho onde y = x. Substituindo y por x:
Mais uma vez, o limite é 0.
Resposta
Como o limite é 0 em todos os caminhos testados, podemos concluir que: