Determine a aproximação linear da funçāo
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a aproximação linear da função $ f(x, y, z) = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} $ no ponto
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a aproximação linear ou o plano tangente. Vamos seguir passo a passo para entender tudo direitinho!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a aproximação linear. Basicamente, é uma maneira de aproximar uma função complicada por uma reta (ou, no caso de funções de várias variáveis, por um plano) perto de um ponto específico. Matemáticamente, a aproximação linear de $ f(x, y, z) $ no ponto $ (a, b, c) $ é dada por:
Aqui, $ f_x, f_y $ e $ f_z $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x, y $ e $ z $, respectivamente, avaliadas no ponto $ (a, b, c) $.
Passo 3
Vamos identificar o ponto em que queremos a aproximação linear: $ (a, b, c) = (6, 3, 2) $.
Primeiro, calculamos $ f(a, b, c) $:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $:
A derivada parcial em relação a $ x $:
De forma similar, para $ y $ e $ z $:
Passo 5
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto $ (6, 3, 2) $:
Passo 6
Agora, substituímos tudo na fórmula da aproximação linear:
Vamos simplificar um pouco:
Somando os constantes:
Então, fica:
Resposta
A aproximação linear da função $ f(x, y, z) = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} $ no ponto $ (6, 3, 2) $ é: