Determine a aproximação linear da funçāo f(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2 em (6,3,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a aproximação linear da função $ f(x, y, z) = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} $ no ponto f(x, y, z) = raizx^2 + y^2 + z^2 . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a aproximação linear ou o plano tangente. Vamos seguir passo a passo para entender tudo direitinho!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a aproximação linear. Basicamente, é uma maneira de aproximar uma função complicada por uma reta (ou, no caso de funções de várias variáveis, por um plano) perto de um ponto específico. Matemáticamente, a aproximação linear de $ f(x, y, z) $ no ponto $ (a, b, c) $ é dada por:
f(x, y, z)
Aqui, $ f_x, f_y $ e $ f_z $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x, y $ e $ z $, respectivamente, avaliadas no ponto $ (a, b, c) $.

Passo 3

Vamos identificar o ponto em que queremos a aproximação linear: $ (a, b, c) = (6, 3, 2) $.
Primeiro, calculamos $ f(a, b, c) $:
(a, b, c) = (6, 3, 2)

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ f $:
A derivada parcial em relação a $ x $:
f
De forma similar, para $ y $ e $ z $:
x
fx(x, y, z) = partialpartial x raizx^2 + y^2 + z^2 = xraizx^2 + y^2 + z^2

Passo 5

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto $ (6, 3, 2) $:
(6, 3, 2)
fx(6, 3, 2) = 6raiz6^2 + 3^2 + 2^2 = 67
fy(6, 3, 2) = 37

Passo 6

Agora, substituímos tudo na fórmula da aproximação linear:
L(x, y, z) = 7 + 67(x - 6) + 37(y - 3) + 27(z - 2)
Vamos simplificar um pouco:
L(x, y, z) = 7 + 67x - 367 + 37y - 97 + 27z - 47
Somando os constantes:
7 - 367 - 97 - 47 = 497 - 497 = 0
Então, fica:
L(x, y, z) = 67x + 37y + 27z

Resposta

A aproximação linear da função $ f(x, y, z) = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} $ no ponto $ (6, 3, 2) $ é:
f(x, y, z) = raizx^2 + y^2 + z^2

Exercícios relacionados