Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções
e
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício onde precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de três funções diferentes: $ g(u, v)=\left(u^{2} v - v{3}\right){5} $, $ f(x, y, z)=x y^{2} e^{-x z} $ e $ h(x, y, z, t)=x^{2} y \cos \left(\frac{z}{t}\right) $. Para isso, vamos usar algumas regras de derivação como a regra da cadeia, regra do produto e conhecer as derivadas básicas de funções polinomiais, exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Vamos começar com a função $ g(u, v)=\left(u^{2} v - v{3}\right){5} $. Precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a $ u $ e a $ v $.
Passo 3
Primeiro, vamos derivar $ g $ em relação a $ u $. A gente usa a regra da cadeia aqui. Se temos $ g = (h)^5 $, onde $ h = u^{2} v - v^{3} $, então a derivada de $ g $ em relação a $ u $ é:
Agora, derivando $ h = u^{2} v - v^{3} $ em relação a $ u $:
Então:
Passo 4
Agora, vamos derivar $ g $ em relação a $ v $. Novamente, usamos a regra da cadeia:
Derivando $ h = u^{2} v - v^{3} $ em relação a $ v $:
Então:
Passo 5
Agora vamos para a função $ f(x, y, z)=x y^{2} e^{-x z} $. Precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 6
Primeiro, derivamos $ f $ em relação a $ x $. Aqui usamos a regra do produto, já que temos $ x $, $ y^{2} $ e $ e^{-x z} $ multiplicados entre si:
A derivada de $ e^{-x z} $ em relação a $ x $ é $ -z e^{-x z} $, então:
Passo 7
Agora, derivamos $ f $ em relação a $ y $. Aqui, $ x $ e $ e^{-x z} $ são constantes em relação a $ y $:
Passo 8
Por último, derivamos $ f $ em relação a $ z $. Apenas o termo $ e^{-x z} $ depende de $ z $:
Passo 9
Finalmente, vamos para a função $ h(x, y, z, t)=x^{2} y \cos \left(\frac{z}{t}\right) $. Precisamos derivar em relação a $ x $, $ y $, $ z $ e $ t $.
Passo 10
Primeiro, derivamos $ h $ em relação a $ x $. Aqui, $ y $ e $ \cos \left(\frac{z}{t}\right) $ são constantes em relação a $ x $:
Passo 11
Agora, derivamos $ h $ em relação a $ y $. Similarmente, $ x^{2} $ e $ \cos \left(\frac{z}{t}\right) $ são constantes em relação a $ y $:
Passo 12
Em seguida, derivamos $ h $ em relação a $ z $. Aqui, usamos a regra da cadeia, já que temos $ \cos \left(\frac{z}{t}\right) $:
Passo 13
Por último, derivamos $ h $ em relação a $ t $. Aqui, além da regra do produto, precisamos aplicar a regra da cadeia para a parte $ \cos \left(\frac{z}{t}\right) $:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
Para $ g(u, v)=\left(u^{2} v - v{3}\right){5} $:
Para $ f(x, y, z)=x y^{2} e^{-x z} $:
Para $ h(x, y, z, t)=x^{2} y \cos \left(\frac{z}{t}\right) $: