Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções g(u, v)=(u^2 v-v^3)^5, f(x, y, z)= x y^2 e^-x z e h(x, y, z, t)=x^2 y cos (z / t).

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício onde precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem de três funções diferentes: $ g(u, v)=\left(u^{2} v - v{3}\right){5} $, $ f(x, y, z)=x y^{2} e^{-x z} $ e $ h(x, y, z, t)=x^{2} y \cos \left(\frac{z}{t}\right) $. Para isso, vamos usar algumas regras de derivação como a regra da cadeia, regra do produto e conhecer as derivadas básicas de funções polinomiais, exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar com a função $ g(u, v)=\left(u^{2} v - v{3}\right){5} $. Precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a $ u $ e a $ v $.

Passo 3

Primeiro, vamos derivar $ g $ em relação a $ u $. A gente usa a regra da cadeia aqui. Se temos $ g = (h)^5 $, onde $ h = u^{2} v - v^{3} $, então a derivada de $ g $ em relação a $ u $ é:
g
Agora, derivando $ h = u^{2} v - v^{3} $ em relação a $ u $:
u
Então:
g = (h)^5

Passo 4

Agora, vamos derivar $ g $ em relação a $ v $. Novamente, usamos a regra da cadeia:
g
Derivando $ h = u^{2} v - v^{3} $ em relação a $ v $:
v
Então:
partial gpartial v = 5 (u^2 v - v^3)^4 cdot partialpartial v (u^2 v - v^3)

Passo 5

Agora vamos para a função $ f(x, y, z)=x y^{2} e^{-x z} $. Precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 6

Primeiro, derivamos $ f $ em relação a $ x $. Aqui usamos a regra do produto, já que temos $ x $, $ y^{2} $ e $ e^{-x z} $ multiplicados entre si:
f
A derivada de $ e^{-x z} $ em relação a $ x $ é $ -z e^{-x z} $, então:
x

Passo 7

Agora, derivamos $ f $ em relação a $ y $. Aqui, $ x $ e $ e^{-x z} $ são constantes em relação a $ y $:
f

Passo 8

Por último, derivamos $ f $ em relação a $ z $. Apenas o termo $ e^{-x z} $ depende de $ z $:
f

Passo 9

Finalmente, vamos para a função $ h(x, y, z, t)=x^{2} y \cos \left(\frac{z}{t}\right) $. Precisamos derivar em relação a $ x $, $ y $, $ z $ e $ t $.

Passo 10

Primeiro, derivamos $ h $ em relação a $ x $. Aqui, $ y $ e $ \cos \left(\frac{z}{t}\right) $ são constantes em relação a $ x $:
h

Passo 11

Agora, derivamos $ h $ em relação a $ y $. Similarmente, $ x^{2} $ e $ \cos \left(\frac{z}{t}\right) $ são constantes em relação a $ y $:
h

Passo 12

Em seguida, derivamos $ h $ em relação a $ z $. Aqui, usamos a regra da cadeia, já que temos $ \cos \left(\frac{z}{t}\right) $:
h

Passo 13

Por último, derivamos $ h $ em relação a $ t $. Aqui, além da regra do produto, precisamos aplicar a regra da cadeia para a parte $ \cos \left(\frac{z}{t}\right) $:
h

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
Para $ g(u, v)=\left(u^{2} v - v{3}\right){5} $:
g(u, v)=(u^2 v - v^3)^5
partial gpartial u = 10 u v (u^2 v - v^3)^4
Para $ f(x, y, z)=x y^{2} e^{-x z} $:
partial gpartial v = 5 (u^2 - 3v^2) (u^2 v - v^3)^4
f(x, y, z)=x y^2 e^-x z
partial fpartial x = y^2 e^-x z (1 - x z)
Para $ h(x, y, z, t)=x^{2} y \cos \left(\frac{z}{t}\right) $:
partial fpartial y = 2x y e^-x z
partial fpartial z = -x^2 y^2 e^-x z
h(x, y, z, t)=x^2 y cos (zt)
partial hpartial x = 2x y cos (zt)

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