Em cada item, encontre a matriz jacobiana e calcule o jacobiano para a transformação dada. .
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação de variáveis (u,v,w)mapsto(x,y,z) definida por x=u+v w, y=v+w u e z=w+u v. Precisamos encontrar a matriz jacobiana (que envolve derivadas parciais) e o jacobiano (seu determinante).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de cada função em relação a u,v,w:
Para x=u+vw:
xu=1
xv=w
xw=v
Para y=v+wu:
yu=w
yv=1
yw=u
Para z=w+uv:
zu=v
zv=u
zw=1
Passo 3
Com essas derivadas montamos a matriz jacobiana J, cujas linhas são os gradientes de x,y,z:
J= 1 & w & v w & 1 & u v & u & 1
Passo 4
Para obter o jacobiano, calculamos o determinante de J. Expandindo pela primeira linha: