Em cada item, encontre a matriz jacobiana e calcule o jacobiano para a transformação dada.
lx=u+v w y=v+w u z=w+u v.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação de variáveis (u,v,w)mapsto(x,y,z) definida por x=u+v w, y=v+w u e z=w+u v. Precisamos encontrar a matriz jacobiana (que envolve derivadas parciais) e o jacobiano (seu determinante).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de cada função em relação a u,v,w:
Para x=u+vw:
  • xu=1
  • xv=w
  • xw=v
    Para y=v+wu:
  • yu=w
  • yv=1
  • yw=u
    Para z=w+uv:
  • zu=v
  • zv=u
  • zw=1

Passo 3

Com essas derivadas montamos a matriz jacobiana J, cujas linhas são os gradientes de x,y,z:
J= 1 & w & v w & 1 & u v & u & 1

Passo 4

Para obter o jacobiano, calculamos o determinante de J. Expandindo pela primeira linha:
det(J) =1,(1cdot1 - ucdot u) - w,(wcdot1 - ucdot v) + v,(wcdot u - 1cdot v)
Agora simplificando cada termo:
det(J)=(1 - u^2) - (w^2 - u v w) + (v w u - v^2) =1 - (u^2+v^2+w^2) +2u v w

Resposta

A matriz jacobiana é
J= 1 & w & v w & 1 & u v & u & 1
e o jacobiano (determinante) é
det(J)=1 - (u^2+v^2+w^2)+2uvw

Exercícios relacionados