Determine se as funções
e
são soluções da equação de Laplace
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções dadas:
- $ u = \sin(x) \cosh(y) + \cos(x) \sinh(y) $
- $ u = e^{-x} \cos(y) - e^{-y} \cos(x) $
E precisamos verificar se essas funções satisfazem a Equação de Laplace, que é uma equação diferencial parcial muito importante na matemática e física, especialmente em problemas de potencial, como eletricidade, magnetismo e fluxo de calor. A equação de Laplace é dada por:
Para resolver isso, vamos calcular as segundas derivadas parciais de cada função em relação a $ x $ e $ y $ e ver se a soma delas é igual a zero.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
Primeiro, precisamos encontrar a segunda derivada de $ u $ em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 3
Calculando as primeiras derivadas parciais:
Agora, vamos encontrar as segundas derivadas:
Passo 4
Agora, somamos as segundas derivadas:
Como a soma é igual a zero, a primeira função satisfaz a Equação de Laplace.
Passo 5
Agora, vamos verificar a segunda função:
Novamente, vamos calcular as segundas derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 6
Primeiras derivadas parciais:
Segundas derivadas:
Passo 7
Somando as segundas derivadas:
A soma também é igual a zero, então a segunda função também satisfaz a Equação de Laplace.
Resposta
Ambas as funções são soluções da Equação de Laplace.