Determine se as funções u=sen(x) cosh (y)+cos (x) senh(y) e u=e^-x cos (y)-e^-y cos (x) são soluções da equação de Laplace
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas funções dadas:
  1. $ u = \sin(x) \cosh(y) + \cos(x) \sinh(y) $
  2. $ u = e^{-x} \cos(y) - e^{-y} \cos(x) $
E precisamos verificar se essas funções satisfazem a Equação de Laplace, que é uma equação diferencial parcial muito importante na matemática e física, especialmente em problemas de potencial, como eletricidade, magnetismo e fluxo de calor. A equação de Laplace é dada por:
u = sin(x) cosh(y) + cos(x) sinh(y)
Para resolver isso, vamos calcular as segundas derivadas parciais de cada função em relação a $ x $ e $ y $ e ver se a soma delas é igual a zero.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função:
u = sin(x) cosh(y) + cos(x) sinh(y)
Primeiro, precisamos encontrar a segunda derivada de $ u $ em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 3

Calculando as primeiras derivadas parciais:
partial upartial x = cos(x) cosh(y) - sin(x) sinh(y)
partial upartial y = sin(x) sinh(y) + cos(x) cosh(y)
Agora, vamos encontrar as segundas derivadas:
partial^2 upartial x^2 = -sin(x) cosh(y) - cos(x) sinh(y)
partial^2 upartial y^2 = sin(x) cosh(y) + cos(x) sinh(y)

Passo 4

Agora, somamos as segundas derivadas:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = (-sin(x) cosh(y) - cos(x) sinh(y)) + (sin(x) cosh(y) + cos(x) sinh(y)) = 0
Como a soma é igual a zero, a primeira função satisfaz a Equação de Laplace.

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda função:
u = e^-x cos(y) - e^-y cos(x)
Novamente, vamos calcular as segundas derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 6

Primeiras derivadas parciais:
partial upartial x = -e^-x cos(y) + e^-y sin(x)
partial upartial y = -e^-x sin(y) + e^-y sin(x)
Segundas derivadas:
partial^2 upartial x^2 = e^-x cos(y) + e^-y cos(x)
partial^2 upartial y^2 = -e^-x cos(y) - e^-y cos(x)

Passo 7

Somando as segundas derivadas:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = (e^-x cos(y) + e^-y cos(x)) + (-e^-x cos(y) - e^-y cos(x)) = 0
A soma também é igual a zero, então a segunda função também satisfaz a Equação de Laplace.

Resposta

Ambas as funções são soluções da Equação de Laplace.

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