Em cada item encontre a matriz
[T]_{\beta}^{\alpha} da transformação linear T dada nas bases indicadas.
T: M(2 \times 2) \longrightarrow M(2 \times 2) dada por T\left(\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}2 a-b & c \\\ d & a\end{array}\right) com \alpha e \beta canonônicas.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: encontrar a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} da transformação linear T relativamente às bases \alpha e \beta, que são as bases canônicas de M(2\times2).
  • O que temos sobre T: para qualquer matriz \left(\begin{smallmatrix}a & b \\\ c & d\end{smallmatrix}\right)\in M(2\times2),
T\!\left(\begin{pmatrix}a & b\\[2pt] c & d\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2a-b & c\\[2pt] d & a\end{pmatrix}.
  • Pergunta explícita: calcular a matriz de T quando as bases de partida e chegada são as canônicas.]

Passo 2

Definir a base canônica (vou explicitar a ordem — isso importa!):
Tomamos a base canônica na ordem
\alpha=\beta=\big(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\big),
onde
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\quad E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]1&0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix}.
Comentário curto: cada E_{ij} tem um único 1 na posição (i,j) e zeros nas outras entradas. A ordem escolhida dita a ordem das colunas da matriz de T.]

Passo 3

Como construir a matriz de T nessas bases (mini-aula rápida):
  • Por linearidade, é suficiente aplicar T aos vetores da base da origem (aqui \alpha).
  • Para cada k-ésimo vetor da base, expressar T desse vetor como combinação linear dos vetores da base da chegada (aqui \beta).
  • Essas coordenadas formam a k-ésima coluna de [T]_{\beta}^{\alpha}.
    Ou seja, coluna k = coordenadas de T(E_{\text{base }k}) na base (E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}).

Passo 4

Calcular T(E_{11}):
  • Para E_{11} temos a=1,\\ b=0,\\ c=0,\\ d=0.
  • Substituindo na regra de T:
T(E_{11})= \begin{pmatrix}2\cdot 1 - 0 & 0 \\[2pt] 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 0 \\[2pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
  • Escrever como combinação dos E_{ij}:
\begin{pmatrix}2 & 0 \\[2pt] 0 & 1\end{pmatrix} = 2E_{11} + 0E_{12} + 0E_{21} + 1E_{22}.
  • Coordenadas (coluna 1):
\text{coluna}_1 = \begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular T(E_{12}):
  • Para E_{12} temos a=0,\\ b=1,\\ c=0,\\ d=0.
  • Substituindo:
T(E_{12})= \begin{pmatrix}2\cdot 0 - 1 & 0 \\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
  • Como combinação dos E_{ij}:
\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix} = (-1)E_{11} + 0E_{12} + 0E_{21} + 0E_{22}.
  • Coordenadas (coluna 2):
\text{coluna}_2 = \begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcular T(E_{21}):
  • Para E_{21} temos a=0,\\ b=0,\\ c=1,\\ d=0.
  • Substituindo:
T(E_{21})= \begin{pmatrix}2\cdot 0 - 0 & 1 \\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
  • Como combinação:
\begin{pmatrix}0 & 1 \\[2pt] 0 & 0\end{pmatrix} = 0E_{11} + 1E_{12} + 0E_{21} + 0E_{22}.
  • Coordenadas (coluna 3):
\text{coluna}_3 = \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular T(E_{22}):
  • Para E_{22} temos a=0,\\ b=0,\\ c=0,\\ d=1.
  • Substituindo:
T(E_{22})= \begin{pmatrix}2\cdot 0 - 0 & 0 \\[2pt] 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[2pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
  • Como combinação:
\begin{pmatrix}0 & 0 \\[2pt] 1 & 0\end{pmatrix} = 0E_{11} + 0E_{12} + 1E_{21} + 0E_{22}.
  • Coordenadas (coluna 4):
\text{coluna}_4 = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 8

Agora sabemos todas as colunas da matriz de T na base canônica: são, na ordem, \text{coluna}_1,\text{coluna}_2,\text{coluna}_3,\text{coluna}_4 calculadas acima. Pela regra que expliquei antes, essas colunas montam [T]_{\beta}^{\alpha}.

Resposta

[T]_{\beta}^{\alpha}= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}]

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