[T]_{\beta}^{\alpha} da transformação linear T dada nas bases indicadas.
T: M(2 \times 2) \longrightarrow M(2 \times 2) dada por T\left(\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}2 a-b & c \\\ d & a\end{array}\right) com \alpha e \beta canonônicas.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
Pede: encontrar a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} da transformação linear T relativamente às bases \alpha e \beta, que são as bases canônicas de M(2\times2).
O que temos sobre T: para qualquer matriz \left(\begin{smallmatrix}a & b \\\ c & d\end{smallmatrix}\right)\in M(2\times2),
T\!\left(\begin{pmatrix}a & b\\[2pt] c & d\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}2a-b & c\\[2pt] d & a\end{pmatrix}.
Pergunta explícita: calcular a matriz de T quando as bases de partida e chegada são as canônicas.]
Passo 2
Definir a base canônica (vou explicitar a ordem — isso importa!):
Comentário curto: cada E_{ij} tem um único 1 na posição (i,j) e zeros nas outras entradas. A ordem escolhida dita a ordem das colunas da matriz de T.]
Passo 3
Como construir a matriz de T nessas bases (mini-aula rápida):
Por linearidade, é suficiente aplicar T aos vetores da base da origem (aqui \alpha).
Para cada k-ésimo vetor da base, expressar T desse vetor como combinação linear dos vetores da base da chegada (aqui \beta).
Essas coordenadas formam a k-ésima coluna de [T]_{\beta}^{\alpha}.
Ou seja, coluna k = coordenadas de T(E_{\text{base }k}) na base (E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}).
Agora sabemos todas as colunas da matriz de T na base canônica: são, na ordem, \text{coluna}_1,\text{coluna}_2,\text{coluna}_3,\text{coluna}_4 calculadas acima. Pela regra que expliquei antes, essas colunas montam [T]_{\beta}^{\alpha}.