[T]_{\beta}^{\alpha} da transformação linear T dada nas bases indicadas.
T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow P_{2}(x), onde T(a, b)=(a+b) x^{2}-b nas bases \alpha e \beta canônicas nos respectivos espaços.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} da transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to P_{2}(x) dada por
T(a,b)=(a+b)x^{2}-b,
quando se usam as bases canônicas \alpha em \mathbb{R}^{2} e \beta em P_{2}(x).
Informações fornecidas:
A transformação é T(a,b)=(a+b)x^{2}-b.
A base canônica \alpha de \mathbb{R}^{2} é composta por (1,0) e (0,1).
A base canônica \beta de P_{2}(x) é composta por 1,\;x,\;x^{2}.
Pergunta explícita: determinar a matriz de T relativa a essas bases canônicas.
Passo 2
Conceito importante (moleza, mas útil): a matriz de uma transformação linear em bases dadas é obtida aplicando T aos vetores da base do espaço de domínio e expressando cada imagem nas coordenadas da base do espaço alvo; cada coluna da matriz é exatamente o vetor de coordenadas da imagem do vetor de base correspondente.
Aqui, a base do domínio \alpha é \{(1,0),(0,1)\}. Vou aplicar T a cada um desses vetores.
Passo 3
Calcular T em (1,0):
T(1,0) = (1+0)x^{2}-0 = x^{2}.
Agora escrever x^{2} nas coordenadas da base \beta=\{1,x,x^{2}\}. O polinômio x^{2} corresponde ao vetor de coordenadas
\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},
pois não há termo constante nem termo em x, e o coeficiente de x^{2} é 1.]
Passo 4
Calcular T em (0,1):
T(0,1)=(0+1)x^{2}-1 = x^{2}-1.
Escrevendo x^{2}-1 nas coordenadas da base \beta obtemos
\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},
porque o termo constante é -1, o coeficiente de x é 0 e o de x^{2} é 1.]
Passo 5
Interpretação das colunas: cada coluna da matriz [T]_{\beta}^{\alpha} é o vetor de coordenadas da imagem do vetor de base correspondente.
A primeira coluna (imagem de (1,0)) é \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
A segunda coluna (imagem de (0,1)) é \begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Como check rápido de consistência: para um vetor genérico (a,b) com coordenadas \begin{pmatrix}a\\[2pt]b\end{pmatrix}, a combinação linear das colunas dá