Em cada item encontre a matriz
[T]_{\beta}^{\alpha} da transformação linear T dada nas bases indicadas.
T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow P_{2}(x), onde T(a, b)=(a+b) x^{2}-b nas bases \alpha e \beta canônicas nos respectivos espaços.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} da transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to P_{2}(x) dada por
T(a,b)=(a+b)x^{2}-b,
quando se usam as bases canônicas \alpha em \mathbb{R}^{2} e \beta em P_{2}(x).
Informações fornecidas:
  • A transformação é T(a,b)=(a+b)x^{2}-b.
  • A base canônica \alpha de \mathbb{R}^{2} é composta por (1,0) e (0,1).
  • A base canônica \beta de P_{2}(x) é composta por 1,\;x,\;x^{2}.
    Pergunta explícita: determinar a matriz de T relativa a essas bases canônicas.

Passo 2

Conceito importante (moleza, mas útil): a matriz de uma transformação linear em bases dadas é obtida aplicando T aos vetores da base do espaço de domínio e expressando cada imagem nas coordenadas da base do espaço alvo; cada coluna da matriz é exatamente o vetor de coordenadas da imagem do vetor de base correspondente.
Aqui, a base do domínio \alpha é \{(1,0),(0,1)\}. Vou aplicar T a cada um desses vetores.

Passo 3

Calcular T em (1,0):
T(1,0) = (1+0)x^{2}-0 = x^{2}.
Agora escrever x^{2} nas coordenadas da base \beta=\{1,x,x^{2}\}. O polinômio x^{2} corresponde ao vetor de coordenadas
\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},
pois não há termo constante nem termo em x, e o coeficiente de x^{2} é 1.]

Passo 4

Calcular T em (0,1):
T(0,1)=(0+1)x^{2}-1 = x^{2}-1.
Escrevendo x^{2}-1 nas coordenadas da base \beta obtemos
\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},
porque o termo constante é -1, o coeficiente de x é 0 e o de x^{2} é 1.]

Passo 5

Interpretação das colunas: cada coluna da matriz [T]_{\beta}^{\alpha} é o vetor de coordenadas da imagem do vetor de base correspondente.
  • A primeira coluna (imagem de (1,0)) é \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
  • A segunda coluna (imagem de (0,1)) é \begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Como check rápido de consistência: para um vetor genérico (a,b) com coordenadas \begin{pmatrix}a\\[2pt]b\end{pmatrix}, a combinação linear das colunas dá
a\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-b\\[2pt]0\\[2pt]a+b\end{pmatrix},
que corresponde ao polinômio -b + 0\cdot x + (a+b)x^{2}=(a+b)x^{2}-b, exatamente T(a,b). Ótimo — tudo bate.]

Resposta

[T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix} 0 & -1\\[4pt] 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}]

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