Em cada item encontre a matriz
[T]_{\beta}^{\alpha} da transformação linear T dada nas bases indicadas.
T: M(2 \times 2) \longrightarrow \mathbb{R} dada por T\left(\left[a_{i j}\right]\right)=a_{11}+a_{22} com \alpha e \beta canonônicas.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede: encontrar a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} da transformação linear T.
  • A transformação é T: M(2\times2)\longrightarrow\mathbb{R} definida por T\!\left(\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}\right)=a_{11}+a_{22}.
  • As bases \alpha (do espaço domínio M(2\times2)) e \beta (do contradomínio \mathbb{R}) são as canônicas.
Resumo das perguntas: calcular a matriz de T nas bases canônicas indicadas.]

Passo 2

Identificar explicitamente as bases canônicas (peguei estas informações do enunciado ao dizer “canonicais”).
  • Base canônica \alpha de M(2\times2) (convencionalmente ordenada) é
\alpha=\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\},
onde
E_{11}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{21}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
  • Base canônica \beta de \mathbb{R} é \beta=\{1\}. Ou seja, cada escalar c\in\mathbb{R} tem coordenada [c]_{\beta} = \text{(c)}.]

Passo 3

Método para obter [T]_{\beta}^{\alpha} — explicação didática.
  • Regra geral: para obter a matriz de uma transformação linear T de um espaço de dimensão n para um de dimensão m, aplicada às bases dadas, aplica-se T a cada vetor da base do domínio e escreve-se o resultado nas coordenadas da base do contradomínio. Essas coordenadas formam as colunas da matriz de T.
  • No nosso caso o domínio tem dimensão 4 (quatro matrizes E_{ij}) e o contradomínio tem dimensão 1. Então a matriz de T será de tamanho 1\times4 (uma linha e quatro colunas).
  • Como a base de \mathbb{R} é \{1\}, a coordenada do escalar c é simplesmente c (ou seja, o vetor coluna \text{(c)}). Logo cada coluna da matriz será simplesmente o número T(E_{ij}).

Passo 4

Calcular T aplicado a cada vetor da base \alpha. Vou mostrar o raciocínio passo a passo.
  • Para E_{11}: seus elementos são a_{11}=1, a_{12}=0, a_{21}=0, a_{22}=0. Portanto
T(E_{11}) = 1 + 0 = 1.
  • Para E_{12}: a_{11}=0, a_{12}=1, a_{21}=0, a_{22}=0. Portanto
T(E_{12}) = 0 + 0 = 0.
  • Para E_{21}: a_{11}=0, a_{12}=0, a_{21}=1, a_{22}=0. Portanto
T(E_{21}) = 0 + 0 = 0.
  • Para E_{22}: a_{11}=0, a_{12}=0, a_{21}=0, a_{22}=1. Portanto
T(E_{22}) = 0 + 1 = 1.

Passo 5

Converter esses resultados para coordenadas na base \beta de \mathbb{R}.
  • Como \beta=\{1\}, a coordenada do número real c é simplesmente \text{(c)}.
  • Portanto as coordenadas (vetores coluna em \mathbb{R}^1) das imagens são: (1), (0), (0), (1), correspondendo respectivamente a T(E_{11}),T(E_{12}),T(E_{21}),T(E_{22}).

Passo 6

Montar qualitativamente a matriz de T.
  • A matriz [T]_{\beta}^{\alpha} é a matriz 1\times4 cujas colunas são as coordenadas acima, na ordem dos vetores da base \alpha.
  • Em outras palavras, a primeira coluna é a coordenada de T(E_{11}), a segunda é a de T(E_{12}), a terceira a de T(E_{21}) e a quarta a de T(E_{22}).
  • (Não estou repetindo aqui a matriz final em forma fechada — a verificação numérica e a forma explícita vêm na resposta final.)

Passo 7

Interpretação prática e checagem com uma matriz genérica (para você ver como usar essa matriz na prova).
  • Seja uma matriz genérica do domínio
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}.
  • Se vetorizar A na ordem canônica (a_{11},a_{12},a_{21},a_{22})^{T}, a aplicação da matriz de T (uma linha) ao vetor coluna deve dar a_{11}+a_{22}.
  • Exemplo numérico rápido: para A=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] 5 & 3\end{pmatrix}, temos T(A)=2+3=5. Aplicando a matriz linha sobre o vetor (2,-1,5,3)^{T} deve dar 5 — é a checagem que se faz na prova para confirmar que a matriz está correta.]

Resposta

[T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

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