Em cada item encontre a matriz
da transformação linear
dada nas bases indicadas.
dada por
com
e
canonônicas.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pede: encontrar a matriz
da transformação linear . - A transformação é
definida por . - As bases
(do espaço domínio ) e (do contradomínio ) são as canônicas.
Resumo das perguntas: calcular a matriz de
nas bases canônicas indicadas.]
Passo 2
Identificar explicitamente as bases canônicas (peguei estas informações do enunciado ao dizer “canonicais”).
- Base canônica
de (convencionalmente ordenada) é
onde
- Base canônica
de é . Ou seja, cada escalar tem coordenada .]
Passo 3
Método para obter
— explicação didática.
- Regra geral: para obter a matriz de uma transformação linear
de um espaço de dimensão para um de dimensão , aplicada às bases dadas, aplica-se a cada vetor da base do domínio e escreve-se o resultado nas coordenadas da base do contradomínio. Essas coordenadas formam as colunas da matriz de . - No nosso caso o domínio tem dimensão
(quatro matrizes ) e o contradomínio tem dimensão . Então a matriz de será de tamanho (uma linha e quatro colunas). - Como a base de
é , a coordenada do escalar é simplesmente (ou seja, o vetor coluna ). Logo cada coluna da matriz será simplesmente o número .
Passo 4
Calcular
aplicado a cada vetor da base
. Vou mostrar o raciocínio passo a passo.
- Para
: seus elementos são , , , . Portanto
- Para
: , , , . Portanto
- Para
: , , , . Portanto
- Para
: , , , . Portanto
Passo 5
Converter esses resultados para coordenadas na base
de
.
- Como
, a coordenada do número real é simplesmente . - Portanto as coordenadas (vetores coluna em
) das imagens são: , correspondendo respectivamente a .
Passo 6
Montar qualitativamente a matriz de
.
- A matriz
é a matriz cujas colunas são as coordenadas acima, na ordem dos vetores da base . - Em outras palavras, a primeira coluna é a coordenada de
, a segunda é a de , a terceira a de e a quarta a de . - (Não estou repetindo aqui a matriz final em forma fechada — a verificação numérica e a forma explícita vêm na resposta final.)
Passo 7
Interpretação prática e checagem com uma matriz genérica (para você ver como usar essa matriz na prova).
- Seja uma matriz genérica do domínio
- Se vetorizar
na ordem canônica , a aplicação da matriz de (uma linha) ao vetor coluna deve dar . - Exemplo numérico rápido: para
, temos . Aplicando a matriz linha sobre o vetor deve dar — é a checagem que se faz na prova para confirmar que a matriz está correta.]