Em cada item encontre a matriz
[T]_{\beta}^{\alpha} da transformação linear T dada nas bases indicadas.
T: P_{3}(x) \longrightarrow P_{3}(x) dada por T p=2 p+3 p^{\prime} com \alpha e \beta canonônicas.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: P_{3}(x)\longrightarrow P_{3}(x) definida por
T p = 2p + 3p',
onde p' é a derivada de p. As bases indicadas são as canônicas (padrão) de P_3(x), isto é
\alpha=\beta=\{\,1,\;x,\;x^{2},\;x^{3}\,\}.
O que o exercício pede: encontrar a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} — isto é, a matriz de T cujas colunas são as coordenadas, na base \beta, das imagens dos vetores da base \alpha.

Passo 2

Regra prática (explicação didática): para obter [T]_{\beta}^{\alpha} quando \alpha e \beta são bases ordenadas com quatro vetores, procede-se assim:
  • Aplica-se T a cada vetor da base \alpha (a ordem importa: primeiro 1, depois x, etc.).
  • Escreve-se o polinômio T(\text{vetor}) como combinação linear da base \beta.
  • Os coeficientes desta combinação formam uma coluna da matriz; a coluna correspondente ao k-ésimo vetor da base \alpha é a k-ésima coluna da matriz.
    Isto vale porque T é linear e as bases são canônicas.

Passo 3

Calcular T(1).
A derivada de 1 é 0. Logo
T(1)=2\cdot 1 + 3\cdot 0 = 2.
Escrevendo 2 na base \{1,x,x^{2},x^{3}\} obtemos o vetor de coordenadas
\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Esta será a primeira coluna de [T]_{\beta}^{\alpha}.

Passo 4

Calcular T(x).
A derivada de x é 1. Logo
T(x)=2\cdot x + 3\cdot 1 = 3 + 2x.
Escrevendo 3+2x na base canônica obtemos o vetor de coordenadas
\begin{pmatrix}3\\\ 2\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Esta é a segunda coluna da matriz.

Passo 5

Calcular T(x^{2}).
A derivada de x^{2} é 2x. Logo
T(x^{2})=2\cdot x^{2} + 3\cdot (2x) = 6x + 2x^{2}.
Escrevendo 6x+2x^{2} na base canônica obtemos
\begin{pmatrix}0\\\ 6\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}.
Esta é a terceira coluna da matriz.

Passo 6

Calcular T(x^{3}).
A derivada de x^{3} é 3x^{2}. Logo
T(x^{3})=2\cdot x^{3} + 3\cdot (3x^{2}) = 9x^{2} + 2x^{3}.
Escrevendo 9x^{2}+2x^{3} na base canônica obtemos
\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 9\\\ 2\end{pmatrix}.
Esta é a quarta coluna da matriz.

Passo 7

Agora montamos a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} com as colunas obtidas, na ordem dos vetores da base \{1,x,x^{2},x^{3}\}:
[T]_{\beta}^{\alpha}= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 6 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 9\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Como verificação rápida (opcional): se p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}, então p'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2} e
T p = (2a_{0}+3a_{1}) + (2a_{1}+6a_{2})x + (2a_{2}+9a_{3})x^{2} + (2a_{3})x^{3},
o que corresponde exatamente à multiplicação da matriz acima pelo vetor coluna \begin{pmatrix}a_{0}\a_{1}\a_{2}\a_{3}\end{pmatrix}.]

Resposta

[T]_{\beta}^{\alpha}= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 6 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 9\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}]

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