[T]_{\beta}^{\alpha} da transformação linear T dada nas bases indicadas.
T: P_{3}(x) \longrightarrow P_{3}(x) dada por T p=2 p+3 p^{\prime} com \alpha e \beta canonônicas.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T: P_{3}(x)\longrightarrow P_{3}(x) definida por
T p = 2p + 3p',
onde p' é a derivada de p. As bases indicadas são as canônicas (padrão) de P_3(x), isto é
\alpha=\beta=\{\,1,\;x,\;x^{2},\;x^{3}\,\}.
O que o exercício pede: encontrar a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} — isto é, a matriz de T cujas colunas são as coordenadas, na base \beta, das imagens dos vetores da base \alpha.
Passo 2
Regra prática (explicação didática): para obter [T]_{\beta}^{\alpha} quando \alpha e \beta são bases ordenadas com quatro vetores, procede-se assim:
Aplica-se T a cada vetor da base \alpha (a ordem importa: primeiro 1, depois x, etc.).
Escreve-se o polinômio T(\text{vetor}) como combinação linear da base \beta.
Os coeficientes desta combinação formam uma coluna da matriz; a coluna correspondente ao k-ésimo vetor da base \alpha é a k-ésima coluna da matriz.
Isto vale porque T é linear e as bases são canônicas.
Passo 3
Calcular T(1).
A derivada de 1 é 0. Logo
T(1)=2\cdot 1 + 3\cdot 0 = 2.
Escrevendo 2 na base \{1,x,x^{2},x^{3}\} obtemos o vetor de coordenadas
\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Esta será a primeira coluna de [T]_{\beta}^{\alpha}.
Passo 4
Calcular T(x).
A derivada de x é 1. Logo
T(x)=2\cdot x + 3\cdot 1 = 3 + 2x.
Escrevendo 3+2x na base canônica obtemos o vetor de coordenadas