Em cada item encontre a matriz
[T]_{\beta}^{\alpha} da transformação linear T dada nas bases indicadas.
T: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}, dada por T(x)=3 x com \alpha=\beta=1.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Transformação linear T:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por T(x)=3x.
  • As bases do espaço domínio e do espaço imagem são \alpha=\{1\} e \beta=\{1\} (ou seja, ambas consistem do único vetor 1 em \mathbb{R}).
    O que é pedido:
  • Calcular a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} da transformação T relativa às bases \alpha e \beta.

Passo 2

Lembrete (fórmula usada): para bases \alpha=\{v_1,\dots,v_n\} do domínio e \beta=\{w_1,\dots,w_m\} do contradomínio, a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} é a matriz m\times n cujas colunas são as coordenadas de T(v_j) na base \beta. Em notação:
[T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix} \big[\,T(v_1)\, \big]_{\beta} & \big[\,T(v_2)\, \big]_{\beta} & \cdots & \big[\,T(v_n)\, \big]_{\beta} \end{pmatrix}.
Aqui cada \big[\,T(v_j)\,\big]_{\beta} é o vetor de coordenadas de T(v_j) em relação à base \beta.

Passo 3

Aplicando isso ao caso unidimensional: a base \alpha tem um único vetor v_1=1. Precisamos calcular T(v_1).
T(1)=3\cdot 1 = 3.

Passo 4

Agora expressar T(1)=3 em coordenadas na base \beta=\{1\}. Como 3 = 3\cdot 1, a coordenada de T(1) em \beta é o escalar 3. Ou seja,
\big[\,T(1)\,\big]_{\beta} = \begin{pmatrix}3\end{pmatrix}.

Passo 5

Montando a matriz [T]_{\beta}^{\alpha}: é uma matriz 1\times 1 cuja única coluna é \big[\,T(1)\,\big]_{\beta}. Logo
[T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}.

Passo 6

Checagem rápida (útil na prova): para um vetor arbitrário x\in\mathbb{R} a coordenada em \alpha é \big[ x \big]_{\alpha}=\begin{pmatrix}x\end{pmatrix}. Multiplicando pela matriz obtida:
\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3x\end{pmatrix},
que corresponde exatamente a \big[\,T(x)\,\big]_{\beta}, mostrando consistência.

Resposta

\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}

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