Verifique se as funções abaixo são transformações lineares.
T: \mathbb{R}^{4} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} dada por T(x, y, z, w)=(x+y+w, z+2 y).

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação T:\mathbb{R}^{4}\longrightarrow\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y,z,w) = (x+y+w,\; z+2y).
A pergunta é: verificar se T é uma transformação linear (isto é, se a aplicação satisfaz as propriedades que definem linearidade).
Informações relevantes fornecidas:
  • Domínio: \mathbb{R}^{4}.
  • Contradomínio: \mathbb{R}^{2}.
  • Regra de associação: a cada vetor (x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4} associa-se o vetor (x+y+w,\;z+2y)\in\mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Lembrete do que significa “transformação linear” (a definição que vamos usar).
Uma aplicação T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^n e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem simultaneamente:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(c\,u)=c\,T(u).
Explicando: a primeira propriedade é a aditividade (soma entra pela transformação), a segunda é a homogeneidade (multiplicar por escalar pode ser feito antes ou depois da transformação). Se as duas valem para todo u,v,c, então T é linear.

Passo 3

Estratégia de verificação: vamos checar as duas propriedades diretamente com vetores genéricos da forma (x,y,z,w). Esse é o método mais direto e pedagógico: escolhemos vetores gerais, aplicamos a definição e comparamos os resultados.

Passo 4

Verificação da aditividade T(u+v)=T(u)+T(v).
Sejam
u=(x_1,y_1,z_1,w_1),\qquad v=(x_2,y_2,z_2,w_2)
com componentes escritas em \mathbb{R}. Então
u+v=(x_1+x_2,\; y_1+y_2,\; z_1+z_2,\; w_1+w_2).
Aplicando T ao vetor soma:
T(u+v)=\bigl((x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(w_1+w_2),\; (z_1+z_2)+2(y_1+y_2)\bigr).
Agrupando termos:
T(u+v)=\bigl((x_1+y_1+w_1)+(x_2+y_2+w_2),\; (z_1+2y_1)+(z_2+2y_2)\bigr).

Passo 5

Agora calculemos T(u)+T(v) separadamente e comparemos.
Pela definição,
T(u)=(x_1+y_1+w_1,\; z_1+2y_1),
T(v)=(x_2+y_2+w_2,\; z_2+2y_2).
Somando:
T(u)+T(v)=\bigl((x_1+y_1+w_1)+(x_2+y_2+w_2),\; (z_1+2y_1)+(z_2+2y_2)\bigr).
Comparando com a expressão encontrada para T(u+v) vemos que são idênticas. Portanto a propriedade de aditividade vale.

Passo 6

Verificação da homogeneidade T(c\,u)=c\,T(u).
Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y,z,w). Então
c\,u=(c x,\; c y,\; c z,\; c w).
Aplicando T:
T(c\,u)=\bigl(c x + c y + c w,\; c z + 2(c y)\bigr).
Fatorando c em cada componente:
T(c\,u)=\bigl(c(x+y+w),\; c(z+2y)\bigr)=c\bigl(x+y+w,\; z+2y\bigr).
Mas \bigl(x+y+w,\; z+2y\bigr)=T(u), logo
T(c\,u)=c\,T(u).
Assim a homogeneidade também vale para todo c e todo u.

Passo 7

Observação alternativa (útil para provas curtas): escrever T como multiplicação por matriz.
A regra
T(x,y,z,w)=(x+y+w,\; z+2y)
pode ser escrita como produto de uma matriz A\in\mathbb{R}^{2\times4} pelo vetor coluna (x,y,z,w)^T:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad T(x,y,z,w)=A\begin{pmatrix}x\y\z\w\end{pmatrix}.
Qualquer aplicação dada por T(x)=A x com A matriz fixa é linear por construção, o que confirma de forma imediata o resultado anterior.]

Passo 8

Conclusão final: ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas diretamente, e há também representação matricial. Portanto T é linear. Força aí — lembre-se: mostrar duas propriedades com vetores gerais é suficiente e é o caminho que cai direto em prova.

Resposta

Sim. T é uma transformação linear.

Exercícios relacionados