Verifique se as funções abaixo são transformações lineares.
dada por
.
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação
definida por
A pergunta é: verificar se
é uma transformação linear (isto é, se a aplicação satisfaz as propriedades que definem linearidade).
Informações relevantes fornecidas:
- Domínio:
. - Contradomínio:
. - Regra de associação: a cada vetor
associa-se o vetor .
Passo 2
Lembrete do que significa “transformação linear” (a definição que vamos usar).
Uma aplicação é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem simultaneamente:
Uma aplicação
e
Explicando: a primeira propriedade é a aditividade (soma entra pela transformação), a segunda é a homogeneidade (multiplicar por escalar pode ser feito antes ou depois da transformação). Se as duas valem para todo
, então
é linear.
Passo 3
Estratégia de verificação: vamos checar as duas propriedades diretamente com vetores genéricos da forma
. Esse é o método mais direto e pedagógico: escolhemos vetores gerais, aplicamos a definição e comparamos os resultados.
Passo 4
Verificação da aditividade
.
Sejam
com componentes escritas em
. Então
Aplicando
ao vetor soma:
Agrupando termos:
Passo 5
Agora calculemos
separadamente e comparemos.
Pela definição,
Somando:
Comparando com a expressão encontrada para
vemos que são idênticas. Portanto a propriedade de aditividade vale.
Passo 6
Verificação da homogeneidade
.
Seja
e
. Então
Aplicando
:
Fatorando
em cada componente:
Mas
, logo
Assim a homogeneidade também vale para todo
e todo
.
Passo 7
Observação alternativa (útil para provas curtas): escrever
como multiplicação por matriz.
A regra
pode ser escrita como produto de uma matriz
pelo vetor coluna
:
Qualquer aplicação dada por
com
matriz fixa é linear por construção, o que confirma de forma imediata o resultado anterior.]
Passo 8
Conclusão final: ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas diretamente, e há também representação matricial. Portanto
é linear. Força aí — lembre-se: mostrar duas propriedades com vetores gerais é suficiente e é o caminho que cai direto em prova.
Resposta
Sim.
é uma transformação linear.