Em cada item encontre a matriz
da transformação linear
dada nas bases indicadas.
, dada por
com
base canônica de
.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a matriz
da transformação linear
dada por
, sabendo que
é a base canônica de
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A transformação é
. - As bases de domínio e contradomínio são a base canônica
, onde e .
O que é pedido: - A matriz
correspondente a nas bases indicadas.
Passo 2
Conceito prático (mini-aula): como obter a matriz de uma transformação linear quando as bases são dadas.
- Se
é a base do domínio e é a base do contradomínio, a matriz tem como colunas as coordenadas de e em relação à base . - No caso da base canônica
, as coordenadas de um vetor são simplesmente suas componentes. Assim, basta calcular e e colocar essas imagens como primeiras e segundas colunas, respectivamente.
Exemplo rápido: see , então
Passo 3
Calcular
e
de forma explícita:
- Para
:
. - Para
:
.
Passo 4
Formar a matriz colocando
como primeira coluna e
como segunda coluna (já que a base é canônica, as coordenadas são as componentes):
Passo 5
Verificação rápida (útil para a prova): multiplicando a matriz pelo vetor coluna
deve-se obter
.
que coincide com
. Isso confirma que a matriz encontrada está correta.
Força aí — agora você já sabe montar a matriz de uma transformação linear na base canônica: aplica nos vetores da base e coloca as imagens como colunas.]
Força aí — agora você já sabe montar a matriz de uma transformação linear na base canônica: aplica