Em cada item encontre a matriz
[T]_{\beta}^{\alpha} da transformação linear T dada nas bases indicadas.
T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, dada por T(x, y)=(2 x+3 y, x) com \alpha=\beta base canônica de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} da transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por T(x,y)=(2x+3y,\;x), sabendo que \alpha=\beta é a base canônica de \mathbb{R}^{2}.
Informações dadas:
  • A transformação é T(x,y)=(2x+3y,\;x).
  • As bases de domínio e contradomínio são a base canônica \alpha=\beta=\{e_{1},e_{2}\}, onde e_{1}=(1,0) e e_{2}=(0,1).
    O que é pedido:
  • A matriz [T]_{\beta}^{\alpha} correspondente a T nas bases indicadas.

Passo 2

Conceito prático (mini-aula): como obter a matriz de uma transformação linear quando as bases são dadas.
  • Se \alpha=\{v_{1},v_{2}\} é a base do domínio e \beta=\{w_{1},w_{2}\} é a base do contradomínio, a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} tem como colunas as coordenadas de T(v_{1}) e T(v_{2}) em relação à base \beta.
  • No caso da base canônica \{e_{1},e_{2}\}, as coordenadas de um vetor são simplesmente suas componentes. Assim, basta calcular T(e_{1}) e T(e_{2}) e colocar essas imagens como primeiras e segundas colunas, respectivamente.
    Exemplo rápido: se T(e_{1})=(a,b) e T(e_{2})=(c,d), então
[T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix} a & c \\\ b & d \end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular T(e_{1}) e T(e_{2}) de forma explícita:
  • Para e_{1}=(1,0):
    T(e_{1})=T(1,0)=(2\cdot 1+3\cdot 0,\;1)=(2,\;1).
  • Para e_{2}=(0,1):
    T(e_{2})=T(0,1)=(2\cdot 0+3\cdot 1,\;0)=(3,\;0).

Passo 4

Formar a matriz colocando T(e_{1}) como primeira coluna e T(e_{2}) como segunda coluna (já que a base é canônica, as coordenadas são as componentes):
[T]_{\beta}^{\alpha}= \begin{pmatrix} 2 & 3\\[4pt] 1 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Verificação rápida (útil para a prova): multiplicando a matriz pelo vetor coluna \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} deve-se obter T(x,y).
\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x+3y\\[4pt]x\end{pmatrix},
que coincide com T(x,y). Isso confirma que a matriz encontrada está correta.
Força aí — agora você já sabe montar a matriz de uma transformação linear na base canônica: aplica T nos vetores da base e coloca as imagens como colunas.]

Resposta

[T]_{\beta}^{\alpha}=\begin{pmatrix}2 & 3\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}]

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