Em cada item encontre a matriz
da transformação linear
dada nas bases indicadas.
, dada por
e
bases canônicas de
e
respectivamente.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
. As bases indicadas são as bases canônicas:
-
é a base canônica de ; -
é a base canônica de .
A pergunta é: encontrar a matriz
que representa
com respeito à base
do domínio e à base
do contradomínio.
Passo 2
Regra prática (explicação didática): para construir a matriz de
relativa às bases dadas, aplica-se
a cada vetor da base do domínio (a base
); cada imagem é escrita em coordenadas da base do contradomínio (a base
); essas coordenadas formam as colunas da matriz
.
Em termos gerais, se
e
, então
é uma matriz
cujo
-ésimo vetor-coluna é a coordenada de
na base
.
Passo 3
Identificar explicitamente as bases canônicas:
- A base canônica
de é com e . - A base canônica
de é com .
Vamos então calcular
e
.
Passo 4
Calcular
:
Como
com
, a coordenada de
em relação a
é o escalar
. Isto é, a primeira coluna da matriz (em coordenadas de
) é
Passo 5
Calcular
:
A coordenada de
em relação a
é o escalar
. Assim, a segunda coluna da matriz (em coordenadas de
) é
Passo 6
Formato da matriz: como o contradomínio
tem dimensão
e o domínio
tem dimensão
, a matriz
tem dimensão
. As colunas, na ordem, são os vetores
e
.
Usando essas colunas em combinação linear, para um vetor qualquer
escrito nas coordenadas de
como
, a ação da matriz sobre esse vetor é
que coincide com
, como esperado.]