Em cada item encontre a matriz
[T]_{\beta}^{\alpha} da transformação linear T dada nas bases indicadas.
T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}, dada por T(x, y)=x-y \operatorname{com} \alpha e \beta bases canônicas de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R} respectivamente.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} definida por T(x,y)=x-y. As bases indicadas são as bases canônicas:
  • \alpha é a base canônica de \mathbb{R}^{2};
  • \beta é a base canônica de \mathbb{R}.
A pergunta é: encontrar a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} que representa T com respeito à base \alpha do domínio e à base \beta do contradomínio.

Passo 2

Regra prática (explicação didática): para construir a matriz de T relativa às bases dadas, aplica-se T a cada vetor da base do domínio (a base \alpha); cada imagem é escrita em coordenadas da base do contradomínio (a base \beta); essas coordenadas formam as colunas da matriz [T]_{\beta}^{\alpha}.
Em termos gerais, se \alpha=(v_{1},\dots,v_{n}) e \beta=(w_{1},\dots,w_{m}), então [T]_{\beta}^{\alpha} é uma matriz m\times n cujo j-ésimo vetor-coluna é a coordenada de T(v_{j}) na base \beta.

Passo 3

Identificar explicitamente as bases canônicas:
  • A base canônica \alpha de \mathbb{R}^{2} é \displaystyle \alpha=(e_{1},e_{2}) com \displaystyle e_{1}=(1,0) e \displaystyle e_{2}=(0,1).
  • A base canônica \beta de \mathbb{R} é \displaystyle \beta=(f_{1}) com \displaystyle f_{1}=(1).
Vamos então calcular T(e_{1}) e T(e_{2}).

Passo 4

Calcular T(e_{1}):
T(e_{1})=T(1,0)=1-0=1.
Como \beta=(f_{1}) com f_{1}=(1), a coordenada de T(e_{1}) em relação a \beta é o escalar \,1. Isto é, a primeira coluna da matriz (em coordenadas de \beta) é
\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}.

Passo 5

Calcular T(e_{2}):
T(e_{2})=T(0,1)=0-1=-1.
A coordenada de T(e_{2}) em relação a \beta é o escalar -1. Assim, a segunda coluna da matriz (em coordenadas de \beta) é
\begin{pmatrix}-1\end{pmatrix}.

Passo 6

Formato da matriz: como o contradomínio \mathbb{R} tem dimensão 1 e o domínio \mathbb{R}^{2} tem dimensão 2, a matriz [T]_{\beta}^{\alpha} tem dimensão 1\times 2. As colunas, na ordem, são os vetores \begin{pmatrix}1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}-1\end{pmatrix}.
Usando essas colunas em combinação linear, para um vetor qualquer (x,y) escrito nas coordenadas de \alpha como \displaystyle \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}, a ação da matriz sobre esse vetor é
x\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-y\end{pmatrix},
que coincide com T(x,y)=x-y, como esperado.]

Resposta

\begin{pmatrix}1 & -1\end{pmatrix}

Exercícios relacionados