Em cada item, encontre uma outra descrição para a região
invertendo a ordem dos parâmetros.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para descrever a mesma região trocando a ordem em que variam x e y. O conteúdo é mudança de ordem de integração em uma região plana, e vamos usar a noção de ‘‘olhar’’ a região primeiro projetada no eixo y (já dada) e depois projetá-la no eixo x para achar limites de y em função de x.
Passo 2
Da descrição original temos 0 ≤ y ≤ 1 e 3y ≤ x ≤ 3. Isso significa que, à medida que y vai de 0 a 1, x começa em 3y e vai até 3.
Passo 3
Para inverter a ordem, primeiro identificamos o intervalo total de x atingido pela região. O menor valor de x ocorre quando y=0, dando x=3·0=0; o maior ocorre quando y=1, dando x=3. Logo x varia em 0 ≤ x ≤ 3.
Passo 4
Agora, para cada x fixo em [0,3], precisamos achar os valores de y que ainda satisfazem 3y ≤ x e 0 ≤ y ≤ 1. Da desigualdade 3y ≤ x vem y ≤ x/3. E já temos y ≥ 0. Além disso x/3 ≤ 1 quando x ≤ 3, então a condição y ≤ 1 é automaticamente atendida.
Passo 5
Portanto, para 0 ≤ x ≤ 3, o y varia de 0 até x/3. Assim temos a descrição invertida da região.
Resposta
R = { (x,y) ∈ ℝ² ∣ 0 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ x/3 }