Seja alpha>0.
Quantas funções y:(-alpha, alpha) R passam pelo ponto (0,1) e satisfazem a EDO y^prime=(x+y-1)^2?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que temos é sobre encontrar quantas funções $ y: (-\alpha, \alpha) \rightarrow \mathbb{R} $ passam pelo ponto y: (-alpha, alpha) R e satisfazem a equação diferencial ordinária (EDO):
(0,1)
Estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos usar o teorema da existência e unicidade, que nos ajuda a saber se existe uma única solução para a EDO que passa pelo ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que está na EDO. Aqui, temos:
f(x, y) = (x + y - 1)^2
Esse $ f(x, y) $ é a parte que relaciona $ y’ $ com $ x $ e $ y $.

Passo 3

Agora, para aplicar o Teorema de Picard-Lindelöf (teorema da existência e unicidade), precisamos verificar duas coisas sobre $ f(x, y) $:
  1. Continuidade de $ f(x, y) $: A função $ f $ deve ser contínua em uma região ao redor do ponto f(x, y) .
  2. Condição de Lipschitz em $ y $: $ f $ deve satisfazer uma condição que garante que não muda muito rápido em relação a $ y $.
Vamos ver se isso acontece.

Passo 4

Olha só, $ f(x, y) = (x + y - 1)^2 $ é uma função polinomial, e polinômios são continuouses e diferenciáveis em todo lugar. Isso já satisfaz a primeira parte do teorema: $ f $ é contínua em qualquer região, inclusive perto de f(x, y) = (x + y - 1)^2 .

Passo 5

Agora, vamos verificar a condição de Lipschitz em $ y $. Isso significa que existe uma constante $ L $ tal que para quaisquer $ y_1 $ e $ y_2 $:
y
Para nossa função $ f(x, y) = (x + y - 1)^2 $, calculamos a derivada parcial em relação a $ y $:
L
Se essa derivada for contínua (o que é, já que é um polinômio), então $ f $ satisfaz a condição de Lipschitz em $ y $.

Passo 6

Como $ f(x, y) $ é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz em $ y $ perto de f(x, y) , o Teorema de Picard-Lindelöf nos garante que existe uma única solução para a EDO que passa por esse ponto.

Resposta

Existe apenas uma única função $ y $ que passa pelo ponto y e satisfaz a equação diferencial $ y’ = (x + y - 1)^2 $.

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