Seja
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Quantas funções
passam pelo ponto
e satisfazem a EDO
?
Quantas funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que temos é sobre encontrar quantas funções $ y: (-\alpha, \alpha) \rightarrow \mathbb{R} $ passam pelo ponto
e satisfazem a equação diferencial ordinária (EDO):
Estamos lidando com equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver isso, vamos usar o teorema da existência e unicidade, que nos ajuda a saber se existe uma única solução para a EDO que passa pelo ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que está na EDO. Aqui, temos:
Esse $ f(x, y) $ é a parte que relaciona $ y’ $ com $ x $ e $ y $.
Passo 3
Agora, para aplicar o Teorema de Picard-Lindelöf (teorema da existência e unicidade), precisamos verificar duas coisas sobre $ f(x, y) $:
- Continuidade de $ f(x, y) $: A função $ f $ deve ser contínua em uma região ao redor do ponto
. - Condição de Lipschitz em $ y $: $ f $ deve satisfazer uma condição que garante que não muda muito rápido em relação a $ y $.
Vamos ver se isso acontece.
Passo 4
Olha só, $ f(x, y) = (x + y - 1)^2 $ é uma função polinomial, e polinômios são continuouses e diferenciáveis em todo lugar. Isso já satisfaz a primeira parte do teorema: $ f $ é contínua em qualquer região, inclusive perto de
.
Passo 5
Agora, vamos verificar a condição de Lipschitz em $ y $. Isso significa que existe uma constante $ L $ tal que para quaisquer $ y_1 $ e $ y_2 $:
Para nossa função $ f(x, y) = (x + y - 1)^2 $, calculamos a derivada parcial em relação a $ y $:
Se essa derivada for contínua (o que é, já que é um polinômio), então $ f $ satisfaz a condição de Lipschitz em $ y $.
Passo 6
Como $ f(x, y) $ é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz em $ y $ perto de
, o Teorema de Picard-Lindelöf nos garante que existe uma única solução para a EDO que passa por esse ponto.
Resposta
Existe apenas uma única função $ y $ que passa pelo ponto
e satisfaz a equação diferencial $ y’ = (x + y - 1)^2 $.