Em cada item, encontre uma parametrização para a curva definida pela interseção das superfícies dadas.
x^2+4 y^2+z^2=4 e x^2+y^2=1, com z >= 0.

Passo 1

O enunciado pede a curva que é a interseção das superfícies x^2+4y^2+z^2=4 (um elipsóide) e x^2+y^2=1 (um cilindro), com a condição z>=0. Para parametrizar essa curva, vamos usar coordenadas que satisfaçam o cilindro e depois impor a outra condição.

Passo 2

Como x^2+y^2=1, faz sentido usar parametrização circular. Definimos
x(t)=cos t, y(t)=sin t,
para um parâmetro t. Dessa forma garantimos sempre x^2+y^2=1.

Passo 3

Substituindo x(t) e y(t) na equação do elipsóide, temos:
z^2=4 - x^2-4y^2=4 - cos^2t - 4sin^2t=4 - (cos^2t+4sin^2t)=4 - (1+3sin^2t)=3 -3sin^2t=3cos^2t

Passo 4

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z=pmraiz3,|cos t|

Passo 5

Como queremos z>=0, escolhemos
z(t)=raiz3,|cos t|

Passo 6

Portanto, uma parametrização para toda a curva (com t variando de 0 a 2pi) é dada por

Resposta

gamma(t)=l(cos t,;sin t,;raiz3,|cos t|r), tin[0,2pi]

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