Determine lim x 0 x-sen xe^x-e^-x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
Substituindo na expressão temos um limite do tipo indeterminado 0/0 em
x-sin xe^x-e^-x
Esse problema envolve limites de funções e podemos usar a regra de L’Hospital.

Passo 2

Vamos verificar a indeterminação. Substituindo diretamente x=0:
numerador=0-sin0=0, denominador=e^0-e^0=1-1=0
Portanto é 0/0, podemos aplicar L’Hospital.

Passo 3

A regra de L’Hospital diz que nesse caso o limite da função é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador. Derivando cada parte:
ddxl(x-sin xr)=1-cos x, ddxl(e^x-e^-xr)=e^x+e^-x
Assim o limite vira
limxto01-cos xe^x+e^-x

Passo 4

Agora basta substituir x=0 nessa nova expressão:
1-cos0=1-1=0, e^0+e^0=1+1=2
Logo o limite é 0/2=0.

Resposta

0

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