Resolva as seguintes equações diferenciais.
ddotu-2 dotu+4 u=0

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
ddotu-2dotu+4u=0
O conteúdo aqui é encontrar a equação característica associada e achar suas raízes para montar a solução geral.

Passo 2

A equação característica vem de substituir u(t)=e^rt na equação, gerando:
r^2-2r+4=0

Passo 3

Calculamos o discriminante De da equação r^2-2r+4=0:
De
Como De, teremos raízes complexas.

Passo 4

As raízes são dadas por
r=2pmraiz-122=1pm iraiz3
Então alpha=1 e beta=raiz3.

Passo 5

Para raízes complexas conjugadas alphapm ibeta, a solução geral é
u(t)=e^alpha tl(C1cos(beta t)+C2sin(beta t)r)

Passo 6

Substituindo alpha=1 e beta=raiz3, a solução fica:
u(t)=e^tl(C1cos(raiz3t)+C2sin(raiz3t)r)

Resposta

u(t)=e^{t}\bigl(C_1\cos(\sqrt{3}t)+C_2\sin(\sqrt{3}t)\bigr)

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