Verifique que a curva parametrizada por \alpha(t)=(1, \sin (t), \cos (2 t)) está contida na superfície definida pela equação z=x^{2}-2 y^{2}.

Passo 1

O enunciado fornece a curva parametrizada e a superfície e pede para verificar se a curva está contida na superfície. Informações dadas: a curva
\alpha(t) = (1,\; \sin(t),\; \cos(2t)) para t\in\mathbb{R} (domínio implícito todos os reais) e a superfície definida pela equação
z = x^{2} - 2y^{2}.
O que é pedido: mostrar se todo ponto \alpha(t) satisfaz a equação da superfície, isto é, verificar se para todo t vale a igualdade entre a terceira coordenada de \alpha(t) e a expressão x^{2}-2y^{2} avaliada nas duas primeiras coordenadas de \alpha(t).

Passo 2

Explicação do critério de pertença (muito direto): uma curva parametrizada \alpha(t)=(x(t),y(t),z(t)) está contida na superfície definida por z=x^{2}-2y^{2} se, para todo t do domínio, a igualdade
z(t)=x(t)^{2}-2y(t)^{2}
for verdadeira. Portanto basta calcular o lado direito usando x(t) e y(t) da parametrização e comparar com z(t).

Passo 3

Identifico as componentes da parametrização dadas no enunciado:
x(t)=1,\qquad y(t)=\sin(t),\qquad z(t)=\cos(2t).

Passo 4

Calculo x(t)^{2}-2y(t)^{2} substituindo as componentes:
x(t)^{2}-2y(t)^{2}=1^{2}-2\sin^{2}(t).
Como 1^{2}=1, isso fica
x(t)^{2}-2y(t)^{2}=1-2\sin^{2}(t).

Passo 5

Apresento a identidade trigonométrica necessária e mostro por que ela vale: a fórmula do ângulo duplo para o cosseno é
\cos(2t)=\cos^{2}(t)-\sin^{2}(t).
Usando \cos^{2}(t)=1-\sin^{2}(t) (pela identidade pitagórica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1) temos
\cos(2t)=(1-\sin^{2}(t))-\sin^{2}(t)=1-2\sin^{2}(t).
Portanto a identidade
\cos(2t)=1-2\sin^{2}(t)
é verdadeira para todo t.

Passo 6

Comparando o resultado do Passo 4 com a identidade do Passo 5, vemos que
x(t)^{2}-2y(t)^{2}=1-2\sin^{2}(t)=\cos(2t)=z(t).
Assim, para todo t vale z(t)=x(t)^{2}-2y(t)^{2}, ou seja, cada ponto \alpha(t) satisfaz a equação da superfície.

Passo 7

Conclusão final: como a igualdade é válida para todo t do domínio, a curva inteira \alpha(t) está contida na superfície z=x^{2}-2y^{2}.

Resposta

Sim. A curva \alpha(t)=(1,\sin(t),\cos(2t)) está contida na superfície z=x^{2}-2y^{2}.

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