Verifique que a curva parametrizada por
está contida na superfície definida pela equação
.
Passo 1
O enunciado fornece a curva parametrizada e a superfície e pede para verificar se a curva está contida na superfície. Informações dadas: a curva
para
(domínio implícito todos os reais) e a superfície definida pela equação
O que é pedido: mostrar se todo ponto
satisfaz a equação da superfície, isto é, verificar se para todo
vale a igualdade entre a terceira coordenada de
e a expressão
avaliada nas duas primeiras coordenadas de
.
Passo 2
Explicação do critério de pertença (muito direto): uma curva parametrizada
está contida na superfície definida por
se, para todo
do domínio, a igualdade
for verdadeira. Portanto basta calcular o lado direito usando
e
da parametrização e comparar com
.
Passo 3
Identifico as componentes da parametrização dadas no enunciado:
Passo 4
Calculo
substituindo as componentes:
Como
, isso fica
Passo 5
Apresento a identidade trigonométrica necessária e mostro por que ela vale: a fórmula do ângulo duplo para o cosseno é
Usando
(pela identidade pitagórica
) temos
Portanto a identidade
é verdadeira para todo
.
Passo 6
Comparando o resultado do Passo 4 com a identidade do Passo 5, vemos que
Assim, para todo
vale
, ou seja, cada ponto
satisfaz a equação da superfície.
Passo 7
Conclusão final: como a igualdade é válida para todo
do domínio, a curva inteira
está contida na superfície
.
Resposta
Sim. A curva
está contida na superfície
.