Em cada item, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
O que se pede: encontrar a solução geral
da equação, isto é, a família de todas as soluções reais (com constantes arbitrárias) que satisfazem a equação diferencial.
Passo 2
Primeiro passo técnico: colocar a equação em forma padrão dividindo tudo por
, para facilitar a formação do polinômio característico. Dividindo por
obtemos:
Passo 3
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes usamos a substituição
. Isso leva ao polinômio característico (ou auxiliar). Substituindo
em
obtemos:
Agora resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como
, temos as raízes complexas conjugadas
Passo 4
Quando o polinômio característico tem raízes complexas conjugadas
(com
reais), a solução geral real da EDO homogênea é
onde
e
são constantes reais arbitrárias. Aqui
e
. Logo a forma geral é
Breve comentário didático: isso vem de escrever
e observar que as partes real e imaginária são soluções reais independentes; a combinação linear delas gera a solução geral real.
Passo 5
Para ficar totalmente tranquilo, dá para verificar diretamente substituindo
na equação original e ver que o lado esquerdo se anula. Vou mostrar os passos essenciais (sem pular as contas importantes):
Calcule
. Usando a regra do produto e derivadas de seno/cosseno:
Agrupando:
Calcule
(derivando novamente, com cuidado):
Agora forme
. Multiplicando e somando os coeficientes em frente de
e
obtém-se zero para ambos, de modo que
confirmando que a expressão encontrada para
realmente satisfaz a equação.
Resposta
onde
e
são constantes reais arbitrárias.