Em cada item, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
4\,y'' + 4\,y' + 5\,y = 0.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) da equação, isto é, a família de todas as soluções reais (com constantes arbitrárias) que satisfazem a equação diferencial.

Passo 2

Primeiro passo técnico: colocar a equação em forma padrão dividindo tudo por 4, para facilitar a formação do polinômio característico. Dividindo por 4 obtemos:
y'' + y' + \tfrac{5}{4}\,y = 0.

Passo 3

Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes usamos a substituição y=e^{r x}. Isso leva ao polinômio característico (ou auxiliar). Substituindo y=e^{r x} em y''+y'+\tfrac{5}{4}y=0 obtemos:
r^{2} + r + \tfrac{5}{4} = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4\cdot 1 \cdot \tfrac{5}{4}}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 5}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-4}}{2}.
Como \sqrt{-4}=2\,i, temos as raízes complexas conjugadas
r = \frac{-1 \pm 2\,i}{2} = -\tfrac{1}{2} \pm i.

Passo 4

Quando o polinômio característico tem raízes complexas conjugadas \lambda \pm i\mu (com \lambda,\mu reais), a solução geral real da EDO homogênea é
y(x) = e^{\lambda x}\big(C_{1}\cos(\mu x) + C_{2}\sin(\mu x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias. Aqui \lambda = -\tfrac{1}{2} e \mu = 1. Logo a forma geral é
y(x) = e^{-x/2}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big).
Breve comentário didático: isso vem de escrever e^{(\lambda+i\mu)x}=e^{\lambda x}(\cos\mu x + i\sin\mu x) e observar que as partes real e imaginária são soluções reais independentes; a combinação linear delas gera a solução geral real.

Passo 5

Para ficar totalmente tranquilo, dá para verificar diretamente substituindo y(x)=e^{-x/2}(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x) na equação original e ver que o lado esquerdo se anula. Vou mostrar os passos essenciais (sem pular as contas importantes):
Calcule y'. Usando a regra do produto e derivadas de seno/cosseno:
y' = -\tfrac{1}{2}e^{-x/2}(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x) + e^{-x/2}(-C_{1}\sin x + C_{2}\cos x).
Agrupando:
y' = e^{-x/2}\big((C_{2}-\tfrac{1}{2}C_{1})\cos x + (-C_{1}-\tfrac{1}{2}C_{2})\sin x\big).
Calcule y'' (derivando novamente, com cuidado):
y'' = e^{-x/2}\big((-\tfrac{3}{4}C_{1}-C_{2})\cos x + (C_{1}-\tfrac{3}{4}C_{2})\sin x\big).
Agora forme 4y''+4y'+5y. Multiplicando e somando os coeficientes em frente de \cos x e \sin x obtém-se zero para ambos, de modo que
4y''+4y'+5y \equiv 0,
confirmando que a expressão encontrada para y(x) realmente satisfaz a equação.

Resposta

y(x)=e^{-x/2}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias.

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