Em cada item, encontre a solução geral do problema de valor inicial dado.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y=0 \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo retirado diretamente do enunciado).
  • Equação diferencial dada: \;y''+4y=0.
  • Condições iniciais: \;y(0)=0 e \;y'(0)=1.
  • O que se quer: encontrar a solução do problema de valor inicial — isto é, a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Entender que tipo de solução procurar: a equação é linear homogênea com coeficientes constantes. Nesses casos é padrão procurar soluções da forma exponencial \;y(t)=e^{rt}, porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial e isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r. Vou aplicar essa ideia substituindo y(t)=e^{rt} na equação.

Passo 3

Formar a equação característica. Substituindo y(t)=e^{rt} em \;y''+4y=0 dá:
r^2 e^{rt} + 4 e^{rt} = 0.
Como e^{rt} nunca é zero, podemos dividir por e^{rt} e obter a equação característica:
r^2 + 4 = 0.

Passo 4

Resolver a equação característica. Temos:
r^2 = -4 \quad\Rightarrow\quad r = \pm 2i.
São raízes complexas conjugadas \;r_1=2i e \;r_2=-2i. Há um resultado padrão (que vou explicar abaixo) que diz que, para raízes complexas conjugadas \alpha \pm i\beta da equação característica, a solução geral real é combinação linear de \cos(\beta t) e \sin(\beta t) multiplicadas por e^{\alpha t}. Aqui \alpha=0 e \beta=2, então a solução geral real é:
y(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t),
onde A e B são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.
Breve explicação por que aparece \cos e \sin: usando fórmulas de Euler, e^{(0+2i)t}=e^{2it}=\cos(2t)+i\sin(2t). As combinações lineares das exponenciais complexas (que vêm das raízes) podem ser rearranjadas em combinações reais de \cos(2t) e \sin(2t). Por isso escrevemos a solução em termos de seno e cosseno quando as raízes são puramente imaginárias.

Passo 5

Calcular a derivada y'(t) da solução geral para poder aplicar a condição inicial em y'(0). Diferenciando termo a termo:
y(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t)
\Rightarrow\quad y'(t) = -2A\sin(2t) + 2B\cos(2t).
Expliquei: ao derivar \cos(2t) usa-se a regra da cadeia; derivada de \cos(u) é -\sin(u) multiplicado por u' = 2, daí -2\sin(2t). Mesma lógica para \sin(2t).

Passo 6

Aplicar as condições iniciais para encontrar A e B.
Primeiro usar y(0)=0. Substituindo t=0 em y(t):
y(0)=A\cos(0)+B\sin(0)=A\cdot 1 + B\cdot 0 = A.
Como y(0)=0, obtemos A=0.
Agora usar y'(0)=1. Substituindo t=0 em y'(t) e usando A=0:
y'(0) = -2A\sin(0) + 2B\cos(0) = 0 + 2B\cdot 1 = 2B.
Como y'(0)=1, segue 2B=1, logo B=\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Montar a solução particular que satisfaz as condições iniciais substituindo A e B encontrados:
y(t)=0\cdot\cos(2t)+\tfrac{1}{2}\sin(2t)=\tfrac{1}{2}\sin(2t).
Posso checar rapidamente: calcular y''(t). Derivando y'(t)=\tfrac{1}{2}\cdot 2\cos(2t)=\cos(2t) y''(t)=-2\sin(2t). Então
y''+4y = -2\sin(2t) + 4\cdot \tfrac{1}{2}\sin(2t) = -2\sin(2t)+2\sin(2t)=0,
confirmando que a equação é satisfeita. Checagem das condições iniciais: y(0)=\tfrac{1}{2}\sin(0)=0 e y'(0)=\cos(0)=1, ok.

Resposta

\displaystyle y(t)=\tfrac{1}{2}\sin(2t)

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