Em cada item, encontre a solução geral do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (tudo retirado diretamente do enunciado).
- Equação diferencial dada:
- Condições iniciais:
e - O que se quer: encontrar a solução do problema de valor inicial — isto é, a função
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Entender que tipo de solução procurar: a equação é linear homogênea com coeficientes constantes. Nesses casos é padrão procurar soluções da forma exponencial
, porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial e isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
. Vou aplicar essa ideia substituindo
na equação.
Passo 3
Formar a equação característica. Substituindo
em
dá:
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e obter a equação característica:
Passo 4
Resolver a equação característica. Temos:
São raízes complexas conjugadas
e
. Há um resultado padrão (que vou explicar abaixo) que diz que, para raízes complexas conjugadas
da equação característica, a solução geral real é combinação linear de
e
multiplicadas por
. Aqui
e
, então a solução geral real é:
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais.
Breve explicação por que aparece
e
: usando fórmulas de Euler,
. As combinações lineares das exponenciais complexas (que vêm das raízes) podem ser rearranjadas em combinações reais de
e
. Por isso escrevemos a solução em termos de seno e cosseno quando as raízes são puramente imaginárias.
Passo 5
Calcular a derivada
da solução geral para poder aplicar a condição inicial em
. Diferenciando termo a termo:
Expliquei: ao derivar
usa-se a regra da cadeia; derivada de
é
multiplicado por
, daí
. Mesma lógica para
.
Passo 6
Aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro usar
. Substituindo
em
:
Como
, obtemos
.
Agora usar
. Substituindo
em
e usando
:
Como
, segue
, logo
.
Passo 7
Montar a solução particular que satisfaz as condições iniciais substituindo
e
encontrados:
Posso checar rapidamente: calcular
. Derivando
dá
. Então
confirmando que a equação é satisfeita. Checagem das condições iniciais:
e
, ok.