Em cada item, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
4 y^{\prime \prime}+16 y^{\prime}+25 y=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
4y''+16y'+25y=0.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
  • Coeficientes constantes: a=4, b=16, c=25.
  • Quer-se a solução geral (sem condições iniciais).

Passo 2

Método escolhido e por quê (explicado passo a passo, sem pular etapas).
Para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução da forma
y(x)=e^{rx},
onde r é um número (possivelmente complexo) que vamos determinar. Por que essa suposição funciona?
  • Derivando, y'(x)=r e^{rx} e y''(x)=r^{2} e^{rx}.
  • Substituindo na equação linear homogênea, todos os termos ficam com um fator comum e^{rx} (que nunca é zero), o que reduz a equação diferencial a uma equação algébrica para r (a chamada equação característica).
Essa redução é poderosa porque transforma a busca por funções em busca por raízes de um polinômio. Após achar as raízes, a forma da solução geral depende do tipo de raízes (reais distintas, reais repetidas ou complexas conjugadas). Aqui vamos seguir esse procedimento.

Passo 3

Formar e resolver a equação característica.
Substituindo y=e^{rx} em 4y''+16y'+25y=0 obtemos
4r^{2}e^{rx}+16r e^{rx}+25 e^{rx}=0.
Dividindo por e^{rx} (não nulo) fica a equação característica
4r^{2}+16r+25=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Use a fórmula de Bhaskara
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
com a=4, b=16, c=25.
Calcule o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=16^{2}-4\cdot4\cdot25=256-400=-144.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Escrevendo \sqrt{\Delta}=\sqrt{-144}=12i, temos
r=\frac{-16\pm 12i}{2\cdot 4}=\frac{-16\pm 12i}{8}=-2\pm \frac{3}{2}i.
Portanto as raízes são
r_{1}=-2+\frac{3}{2}i,\qquad r_{2}=-2-\frac{3}{2}i.

Passo 4

Converter as raízes complexas na forma real da solução geral (explicação didática).
Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta, as duas funções e^{(\alpha+i\beta)x} e e^{(\alpha-i\beta)x} são soluções complexas. Usando a fórmula de Euler
e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos(\beta x)+i\sin(\beta x)),
as partes real e imaginária, e^{\alpha x}\cos(\beta x) e e^{\alpha x}\sin(\beta x), são duas soluções reais independentes. Pela linearidade e pelo teorema da existência/uniqueness para soluções lineares, a solução geral real é uma combinação linear dessas duas soluções reais:
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais.
No nosso caso, \alpha=-2 e \beta=\dfrac{3}{2}. Substituindo nessa fórmula obtém-se a solução geral real.

Passo 5

Escrever a solução geral final aplicando \alpha=-2 e \beta=\dfrac{3}{2}.
Portanto a solução geral da equação dada é
y(x)=e^{-2x}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{3}{2}x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{3}{2}x\big)\Big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias.

Resposta

y(x)=e^{-2x}\Big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{3}{2}x\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{3}{2}x\big)\Big)

Exercícios relacionados