Em cada item, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
- Coeficientes constantes:
, , . - Quer-se a solução geral (sem condições iniciais).
Passo 2
Método escolhido e por quê (explicado passo a passo, sem pular etapas).
Para equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução da forma
onde
é um número (possivelmente complexo) que vamos determinar. Por que essa suposição funciona?
- Derivando,
e . - Substituindo na equação linear homogênea, todos os termos ficam com um fator comum
(que nunca é zero), o que reduz a equação diferencial a uma equação algébrica para (a chamada equação característica).
Essa redução é poderosa porque transforma a busca por funções em busca por raízes de um polinômio. Após achar as raízes, a forma da solução geral depende do tipo de raízes (reais distintas, reais repetidas ou complexas conjugadas). Aqui vamos seguir esse procedimento.
Passo 3
Formar e resolver a equação característica.
Substituindo
em
obtemos
Dividindo por
(não nulo) fica a equação característica
Agora resolvemos essa equação quadrática. Use a fórmula de Bhaskara
com
,
,
.
Calcule o discriminante:
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Escrevendo
, temos
Portanto as raízes são
Passo 4
Converter as raízes complexas na forma real da solução geral (explicação didática).
Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas
, as duas funções
e
são soluções complexas. Usando a fórmula de Euler
as partes real e imaginária,
e
, são duas soluções reais independentes. Pela linearidade e pelo teorema da existência/uniqueness para soluções lineares, a solução geral real é uma combinação linear dessas duas soluções reais:
onde
e
são constantes arbitrárias reais.
No nosso caso,
e
. Substituindo nessa fórmula obtém-se a solução geral real.
Passo 5
Escrever a solução geral final aplicando
e
.
Portanto a solução geral da equação dada é
onde
e
são constantes reais arbitrárias.