Se
e
são soluções linearmente independentes de
e se
, encontre
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e diz que
e
são soluções linearmente independentes dessa equação. Foi informado que o wronskiano desses dois soluções no ponto
vale
A pergunta é: encontrar
.
Passo 2
Vamos recordar uma propriedade útil (fórmula de Abel) para equações diferenciais lineares de segunda ordem: se uma equação está na forma padrão
então o wronskiano
satisfaz
Derivação rápida e intuitiva (sem pular etapas): por definição
Diferenciando,
Como
e
satisfazem a equação padrão,
. Substituindo:
o que confirma a fórmula.
Passo 3
Nossa equação original não está explicitamente na forma padrão porque o coeficiente de
é
. Para usar Abel, dividimos tudo por
(válido para
; os pontos dados
e
estão fora de
):
Assim o coeficiente
é
Pela identidade de Abel temos então
Isto é uma equação diferencial de primeira ordem para
. Reescrevendo,
Integrando ambos os lados:
onde
é constante. Exponenciando,
com
(constante real).
Passo 4
Agora usamos o valor dado
para determinar
:
Passo 5
Finalmente calculamos
:
Pronto — o wronskiano no ponto
é
. (Observação: tudo foi feito numa vizinhança onde
, então dividir por
foi legítimo; os pontos
e
estão nessa região.)
Resposta
12