Se y_{1} e y_{2} são soluções linearmente independentes de x y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+ (3+x) y=0 e se W\left(y_{1}, y_{2}\right)(2)=3, encontre W\left(y_{1}, y_{2}\right)(4).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x y''-2y'+(3+x)y=0
e diz que y_{1} e y_{2} são soluções linearmente independentes dessa equação. Foi informado que o wronskiano desses dois soluções no ponto x=2 vale
W\bigl(y_{1},y_{2}\bigr)(2)=3.
A pergunta é: encontrar W\bigl(y_{1},y_{2}\bigr)(4).

Passo 2

Vamos recordar uma propriedade útil (fórmula de Abel) para equações diferenciais lineares de segunda ordem: se uma equação está na forma padrão
y''+p(x)y'+q(x)y=0,
então o wronskiano W(x)=W\bigl(y_{1},y_{2}\bigr)(x) satisfaz
W'(x)=-p(x)W(x).
Derivação rápida e intuitiva (sem pular etapas): por definição
W(x)=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
Diferenciando,
W'(x)=y_{1}y_{2}''-y_{1}''y_{2}.
Como y_{1} e y_{2} satisfazem a equação padrão, y''=-p(x)y'-q(x)y. Substituindo:
W'(x)=y_{1}(-p y_{2}'-q y_{2})-(-p y_{1}'-q y_{1})y_{2}=-p\,(y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2})=-pW,
o que confirma a fórmula.

Passo 3

Nossa equação original não está explicitamente na forma padrão porque o coeficiente de y'' é x. Para usar Abel, dividimos tudo por x (válido para x\neq0; os pontos dados x=2 e x=4 estão fora de 0):
y''-\frac{2}{x}y'+\frac{3+x}{x}y=0.
Assim o coeficiente p(x) é
p(x)=-\frac{2}{x}.
Pela identidade de Abel temos então
W'(x)=-p(x)W(x)= -\biggl(-\frac{2}{x}\biggr)W(x)=\frac{2}{x}W(x).
Isto é uma equação diferencial de primeira ordem para W(x). Reescrevendo,
\frac{W'(x)}{W(x)}=\frac{2}{x}.
Integrando ambos os lados:
\ln|W(x)|=2\ln|x|+C_1,
onde C_1 é constante. Exponenciando,
W(x)=C x^{2},
com C=e^{C_1} (constante real).

Passo 4

Agora usamos o valor dado W(2)=3 para determinar C:
3 = W(2)=C\cdot 2^{2}=4C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{3}{4}.

Passo 5

Finalmente calculamos W(4):
W(4)=C\cdot 4^{2}=\frac{3}{4}\cdot 16=12.
Pronto — o wronskiano no ponto x=4 é 12. (Observação: tudo foi feito numa vizinhança onde x\neq0, então dividir por x foi legítimo; os pontos 2 e 4 estão nessa região.)

Resposta

12

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