Em cada item, encontre uma solução particular da equação diferencial dada usando o Método da Variação dos Parâmetros. Depois confira sua resposta usando o Métodos dos Coeficientes a Determinar. y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=2 e^{2 x}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
y''-5y'+6y=2e^{2x},
e pede duas coisas:
Encontrar uma solução particular usando o Método da Variação dos Parâmetros.
Conferir essa solução usando o Método dos Coeficientes a Determinar.
Informações importantes fornecidas:
A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo fonte 2e^{2x}.
Não há outras condições iniciais; só precisamos de uma solução particular (qualquer uma serve).
Vou obter primeiro as soluções da homogênea para aplicar a variação de parâmetros.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada:
y''-5y'+6y=0.
Montar a equação característica:
r^2-5r+6=0.
Resolver a quadrática por fatoração:
r^2-5r+6=(r-2)(r-3)=0,
logo as raízes são r=2 e r=3. Portanto as soluções fundamentais da homogênea são
y_1(x)=e^{2x},\qquad y_2(x)=e^{3x},
e a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{3x}.
Passo 3
Apresentar o Método da Variação dos Parâmetros (ideia e fórmulas).
Ideia: procurar uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
onde u_1\) e \(u_2\) são funções a determinar (em vez de constantes).
- Para segundo ordem, impõe-se o sistema
\[\begin{cases} u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0,\\[4pt] u_1'(x)y_1'(x)+u_2'(x)y_2'(x)=g(x), \end{cases}
onde g(x)\] é o termo do lado direito da equação escrita na forma padrão \(y''+p(x)y'+q(x)y=g(x). Aqui g(x)=2e^{2x}.
Das fórmulas fechadas (que derivam desse sistema) obtemos
que é exatamente o lado direito. Logo y_p está correta.
Passo 7
Conferir com o Método dos Coeficientes a Determinar.
O termo de não-homogeneidade é 2e^{2x}. Como e^{2x} é solução da homogênea (corresponde à raiz r=2), deve-se multiplicar a ansatz habitual por x^{s} com s=1. A forma candidata é