Em cada item, encontre uma solução particular da equação diferencial dada usando o Método da Variação dos Parâmetros. Depois confira sua resposta usando o Métodos dos Coeficientes a Determinar.
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=2 e^{2 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''-5y'+6y=2e^{2x},
e pede duas coisas:
  • Encontrar uma solução particular usando o Método da Variação dos Parâmetros.
  • Conferir essa solução usando o Método dos Coeficientes a Determinar.
Informações importantes fornecidas:
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo fonte 2e^{2x}.
  • Não há outras condições iniciais; só precisamos de uma solução particular (qualquer uma serve).
  • Vou obter primeiro as soluções da homogênea para aplicar a variação de parâmetros.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
y''-5y'+6y=0.
Montar a equação característica:
r^2-5r+6=0.
Resolver a quadrática por fatoração:
r^2-5r+6=(r-2)(r-3)=0,
logo as raízes são r=2 e r=3. Portanto as soluções fundamentais da homogênea são
y_1(x)=e^{2x},\qquad y_2(x)=e^{3x},
e a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{3x}.

Passo 3

Apresentar o Método da Variação dos Parâmetros (ideia e fórmulas).
  • Ideia: procurar uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
onde u_1\) e \(u_2\) são funções a determinar (em vez de constantes). - Para segundo ordem, impõe-se o sistema \[\begin{cases} u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0,\\[4pt] u_1'(x)y_1'(x)+u_2'(x)y_2'(x)=g(x), \end{cases}
onde g(x)\] é o termo do lado direito da equação escrita na forma padrão \(y''+p(x)y'+q(x)y=g(x). Aqui g(x)=2e^{2x}.
  • Das fórmulas fechadas (que derivam desse sistema) obtemos
u_1'(x)=-\frac{y_2(x)\,g(x)}{W(x)},\qquad u_2'(x)=\frac{y_1(x)\,g(x)}{W(x)},
onde W(x) é o Wronskiano de y_1,y_2:
W(x)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2\\\ y_1' & y_2'\end{vmatrix}=y_1 y_2'-y_1'y_2.]

Passo 4

Calcular o Wronskiano e u_1',u_2'.
  • Com y_1=e^{2x} e y_2=e^{3x},
W(x)=e^{2x}\cdot(3e^{3x})-(2e^{2x})\cdot e^{3x}=(3-2)e^{5x}=e^{5x}.
  • O termo fonte é g(x)=2e^{2x}. Então
u_1'(x)=-\frac{y_2(x)g(x)}{W(x)}=-\frac{e^{3x}\cdot 2e^{2x}}{e^{5x}}=-2,
u_2'(x)=\frac{y_1(x)g(x)}{W(x)}=\frac{e^{2x}\cdot 2e^{2x}}{e^{5x}}=2e^{-x}.
  • Integrando:
u_1(x)=\int -2\,dx=-2x\quad(\text{constante de integração pode ser tomada zero aqui}),çã
u_2(x)=\int 2e^{-x}\,dx=-2e^{-x}\quad(\text{constante de integração tomada zero}).çã

Passo 5

Formar y_p com os u_i encontrados e simplificar.
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x)=(-2x)e^{2x}+(-2e^{-x})e^{3x}.
Simplificando e^{-x}e^{3x}=e^{2x},
y_p(x)=-2x e^{2x}-2e^{2x}=-2e^{2x}(x+1).
Portanto, uma solução particular obtida por Variação dos Parâmetros é
\boxed{y_p(x)=-2e^{2x}(x+1).}

Passo 6

Verificação direta (substituição) — checar se y_p satisfaz a equação.
Calcular derivadas de y_p. Usar y_p=-2e^{2x}(x+1).
  • Derivando:
y_p'(x)=-2\big(2e^{2x}(x+1)+e^{2x}\big)=-2e^{2x}(2x+3).
y_p''(x)=-2\big(2e^{2x}(2x+3)+2e^{2x}\big)=-2e^{2x}(4x+8).
Agora calcular y_p''-5y_p'+6y_p. Fatorando e^{2x}:
y_p''-5y_p'+6y_p=e^{2x}\big((-8x-16)+20x+30-12x-12\big)=2e^{2x},
que é exatamente o lado direito. Logo y_p está correta.

Passo 7

Conferir com o Método dos Coeficientes a Determinar.
  • O termo de não-homogeneidade é 2e^{2x}. Como e^{2x} é solução da homogênea (corresponde à raiz r=2), deve-se multiplicar a ansatz habitual por x^{s} com s=1. A forma candidata é
y_p(x)=A x e^{2x},
onde A é constante a determinar.
  • Calcular derivadas:
y_p'(x)=A e^{2x}+2A x e^{2x}=A e^{2x}(1+2x),
y_p''(x)=4A e^{2x}(x+1).
  • Substituir em y''-5y'+6y:
y_p''-5y_p'+6y_p=A e^{2x}\big(4x+4-5-10x+6x\big)=-A e^{2x}.
Igualando ao lado direito 2e^{2x} obtém-se -A=2, logo A=-2. Assim
y_p(x)=-2x e^{2x}
é uma solução particular obtida pelo Método dos Coeficientes a Determinar.

Passo 8

Comparação entre as duas soluções particulares encontradas:
  • Variação dos Parâmetros deu y_{p,1}(x)=-2e^{2x}(x+1).
  • Coeficientes a Determinar deu y_{p,2}(x)=-2x e^{2x}.
Note que as duas diferem por múltiplo de uma solução da homogênea:
y_{p,1}(x)-y_{p,2}(x)=-2e^{2x},
portanto ambas são soluções particulares válidas (diferença pertence ao espaço das soluções homogêneas).

Resposta

Variação dos Parâmetros: y_p(x)=-2e^{2x}(x+1)
Coeficientes a Determinar: y_p(x)=-2x e^{2x}

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