Em cada item, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
O que se pede: encontrar a solução geral
dessa equação (ou seja, a família de soluções envolvendo duas constantes arbitrárias).
Informações relevantes fornecidas:
- É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, homogênea.
- Coeficientes constantes: os números multiplicando
são , respectivamente.
Passo 2
Método que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução do tipo
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução do tipo
onde
é um número (possivelmente complexo) que vamos determinar. Por que isso funciona? Porque derivando exponencial repetidas vezes obtemos múltiplos do próprio
, então ao substituir na equação toda a expressão fica multiplicando
e sobra uma equação algébrica para
. Esse procedimento transforma a EDO numa equação algébrica chamada equação característica.
Passo 3
Substituindo
em
e dividindo por
(que nunca é zero) obtemos a equação característica:
Passo 4
Resolver a equação quadrática. Primeiro calculamos o discriminante
:
Como o discriminante é negativo (
), as raízes serão complexas conjugadas.
Passo 5
Encontrar explicitamente as raízes
usando a fórmula quadrática:
Como
, temos
Portanto as raízes são
e
.
Passo 6
Interpretação das raízes complexas e forma real da solução geral (explicação didática):
Quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas (com
e
), as duas soluções complexas
e
têm partes reais e imaginárias que são soluções reais linearmente independentes. Usando a fórmula de Euler
, a combinação real geral das duas exponenciais complexas leva à forma real
Quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas
onde
são constantes reais arbitrárias.
No nosso caso
e
. Substituindo esses valores na forma acima obtemos a solução geral.
Passo 7
Escrever explicitamente a solução geral substituindo
e
:
onde
e
são constantes reais arbitrárias que serão determinadas se houver condições iniciais.