Em cada item, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
4 y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}+5 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes
4y''+8y'+5y=0.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) dessa equação (ou seja, a família de soluções envolvendo duas constantes arbitrárias).
Informações relevantes fornecidas:
  • É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, homogênea.
  • Coeficientes constantes: os números multiplicando y'',y',y são 4,8,5, respectivamente.

Passo 2

Método que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução do tipo
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo) que vamos determinar. Por que isso funciona? Porque derivando exponencial repetidas vezes obtemos múltiplos do próprio e^{r x}, então ao substituir na equação toda a expressão fica multiplicando e^{r x} e sobra uma equação algébrica para r. Esse procedimento transforma a EDO numa equação algébrica chamada equação característica.

Passo 3

Substituindo y=e^{r x} em \;4y''+8y'+5y=0\; e dividindo por e^{r x} (que nunca é zero) obtemos a equação característica:
4r^{2}+8r+5=0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática. Primeiro calculamos o discriminante \Delta:
\Delta = b^{2}-4ac = 8^{2}-4\cdot4\cdot5 = 64-80 = -16.
Como o discriminante é negativo ( \Delta=-16), as raízes serão complexas conjugadas.

Passo 5

Encontrar explicitamente as raízes r usando a fórmula quadrática:
r=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-8\pm\sqrt{-16}}{2\cdot4}.
Como \sqrt{-16}=4i, temos
r=\frac{-8\pm4i}{8}=-1\pm\frac{1}{2}i.
Portanto as raízes são r_{1}=-1+\tfrac{1}{2}i e r_{2}=-1-\tfrac{1}{2}i.

Passo 6

Interpretação das raízes complexas e forma real da solução geral (explicação didática):
Quando as raízes da equação característica são complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta (com \alpha,\beta\in\mathbb{R} e \beta\neq0), as duas soluções complexas e^{(\alpha+i\beta)x} e e^{(\alpha-i\beta)x} têm partes reais e imaginárias que são soluções reais linearmente independentes. Usando a fórmula de Euler e^{i\beta x}=\cos(\beta x)+i\sin(\beta x), a combinação real geral das duas exponenciais complexas leva à forma real
y(x)=e^{\alpha x}\big(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\big),
onde C_{1},C_{2} são constantes reais arbitrárias.
No nosso caso \alpha=-1 e \beta=\tfrac{1}{2}. Substituindo esses valores na forma acima obtemos a solução geral.

Passo 7

Escrever explicitamente a solução geral substituindo \alpha=-1 e \beta=\tfrac{1}{2}:
y(x)=e^{-x}\!\left(C_{1}\cos\!\left(\tfrac{1}{2}x\right)+C_{2}\sin\!\left(\tfrac{1}{2}x\right)\right),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias que serão determinadas se houver condições iniciais.

Resposta

y(x)=e^{-x}\!\left(C_{1}\cos\!\left(\tfrac{1}{2}x\right)+C_{2}\sin\!\left(\tfrac{1}{2}x\right)\right)

Exercícios relacionados