Em cada item, encontre a solução geral do problema de valor inicial dado.
\left\{\begin{array}{l}4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=0 \\\ y(0)=3, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial e pede encontrar a solução associada. As informações fornecidas são:
  • A equação diferencial: 4\,y''+4\,y'+5\,y=0.
  • As condições iniciais: y(0)=3,\qquad y'(0)=1.
O objetivo é achar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Método que vamos usar (explicando o porquê de forma simples): para equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e homogêneas, é natural testar soluções da forma y=e^{r t}. Se substituirmos essa forma na equação obtemos uma equação algébrica para r (chamada equação característica). Essa redução transforma um problema diferencial em um problema algébrico que é mais simples de resolver.

Passo 3

Formamos a equação característica substituindo y=e^{r t} em 4\,y''+4\,y'+5\,y=0. Isso dá
4 r^{2}+4 r+5=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. O discriminante é
\Delta = 4^{2}-4\cdot 4\cdot 5 = 16-80 = -64.
Como \Delta<0, as raízes serão complexas conjugadas.

Passo 4

Calculemos as raízes explicitamente:
r=\frac{-4\pm\sqrt{-64}}{2\cdot 4}=\frac{-4\pm 8\,i}{8}=-\tfrac{1}{2}\pm i.
Ou seja, escrevendo \alpha\pm \beta i, temos \alpha=-\tfrac{1}{2} e \beta=1.

Passo 5

Regra importante (aulas rápidas): quando a equação característica tem raízes complexas \alpha\pm\beta i, a solução geral real da EDO homogênea é
y(t)=e^{\alpha t}\big(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais. Aplicando aqui \alpha=-\tfrac{1}{2} e \beta=1, a solução geral é
y(t)=e^{-t/2}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big).
Agora usamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.

Passo 6

Precisamos de y(0) e y'(0). Primeiro calculemos y(0) diretamente da forma geral:
y(0)=e^{0}\big(C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0\big)=C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 = C_{1}.
Pela condição inicial, \,y(0)=3, então
C_{1}=3.

Passo 7

Agora calculamos y'(t) passo a passo (aplicando a regra do produto e derivadas de \sin e \cos):
y'(t)=\frac{d}{dt}\Big(e^{-t/2}(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t)\Big).
Derivando:
y'(t)=e^{-t/2}(-C_{1}\sin t + C_{2}\cos t)\;-\;\tfrac{1}{2}e^{-t/2}(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t).
Colocando em uma forma coletada:
y'(t)=e^{-t/2}\Big(\big(C_{2}-\tfrac{1}{2}C_{1}\big)\cos t \;-\;\big(C_{1}+\tfrac{1}{2}C_{2}\big)\sin t\Big).
Agora avaliamos em t=0:
y'(0)=\big(C_{2}-\tfrac{1}{2}C_{1}\big)\cdot 1 \;-\; \big(C_{1}+\tfrac{1}{2}C_{2}\big)\cdot 0 = C_{2}-\tfrac{1}{2}C_{1}.
Usando C_{1}=3 e a condição y'(0)=1, obtemos
C_{2}-\tfrac{1}{2}\cdot 3 = 1 \quad\Rightarrow\quad C_{2}-\tfrac{3}{2}=1.
Logo
C_{2}=1+\tfrac{3}{2}=\tfrac{5}{2}.

Passo 8

Encontrámos as constantes C_{1}=3 e C_{2}=\tfrac{5}{2}. Com isso a solução do problema de valor inicial está totalmente determinada.

Resposta

y(t)=e^{-t/2}\!\left(3\cos t + \tfrac{5}{2}\sin t\right)

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