Em cada item, encontre a solução geral do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial e pede encontrar a solução associada. As informações fornecidas são:
- A equação diferencial:
- As condições iniciais:
O objetivo é achar a função
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Método que vamos usar (explicando o porquê de forma simples): para equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e homogêneas, é natural testar soluções da forma
Se substituirmos essa forma na equação obtemos uma equação algébrica para
(chamada equação característica). Essa redução transforma um problema diferencial em um problema algébrico que é mais simples de resolver.
Passo 3
Formamos a equação característica substituindo
em
Isso dá
Agora resolvemos essa equação quadrática. O discriminante é
Como
, as raízes serão complexas conjugadas.
Passo 4
Calculemos as raízes explicitamente:
Ou seja, escrevendo
, temos
e
.
Passo 5
Regra importante (aulas rápidas): quando a equação característica tem raízes complexas
, a solução geral real da EDO homogênea é
onde
e
são constantes reais. Aplicando aqui
e
, a solução geral é
Agora usamos as condições iniciais para determinar
e
.
Passo 6
Precisamos de
e
. Primeiro calculemos
diretamente da forma geral:
Pela condição inicial,
, então
Passo 7
Agora calculamos
passo a passo (aplicando a regra do produto e derivadas de
e
):
Derivando:
Colocando em uma forma coletada:
Agora avaliamos em
:
Usando
e a condição
, obtemos
Logo
Passo 8
Encontrámos as constantes
e
. Com isso a solução do problema de valor inicial está totalmente determinada.