Em cada item, encontre a solução o problema de valor inicial dado.
\left{ \begin{array}{l}y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=0 \\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=2\end{array}\right.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Equação diferencial (problema de valor inicial) dada:
y''-6y'+9y=0.
  • Condições iniciais (dados em x=0):
y(0)=0,\qquad y'(0)=2.
  • O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro passo técnico: resolver a equação diferencial homogênea linear com coeficientes constantes encontrando a chamada equação característica. A ideia é tentar uma solução da forma y=e^{rx} (isso funciona porque derivadas de exponenciais produzem fatores constantes que transformam a equação diferencial em um polinômio em r).
Substituindo y=e^{rx} em \,y''-6y'+9y=0 obtemos a equação característica:
r^{2}-6r+9=0.

Passo 3

Resolver a equação característica. Essa é uma quadrática; podemos fatorar:
r^{2}-6r+9=(r-3)^{2}.
Logo a raiz é r=3 com multiplicidade 2 (raiz dupla).

Passo 4

Quando a equação característica tem uma raiz real r de multiplicidade 2, as duas soluções independentes da equação homogênea são e^{rx} e x e^{rx}. Explicando intuitivamente: a multiplicidade implica que precisamos de uma segunda solução que não seja múltipla escalar da primeira; multiplicar por x dá essa independência linear.
Portanto a solução geral da equação homogênea, para r=3 dupla, é
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora calculamos a derivada y'(x) de modo detalhado (usando a regra do produto). Começando de
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{3x},
temos primeiro a derivada do fator polinomial em x, que é C_{2}, e aplicamos a regra do produto:
y'(x)=C_{2}e^{3x}+(C_{1}+C_{2}x)\cdot 3e^{3x}.
Fatorando e^{3x} obtemos
y'(x)=\bigl(C_{2}+3(C_{1}+C_{2}x)\bigr)e^{3x}=\bigl(3C_{1}+C_{2}+3C_{2}x\bigr)e^{3x}.

Passo 6

Aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Usando y(0)=0:
y(0)=(C_{1}+C_{2}\cdot 0)e^{0}=C_{1}=0.
Portanto C_{1}=0.
Usando y'(0)=2 e substituindo C_{1}=0 na expressão de y':
y'(0)=\bigl(3\cdot 0 + C_{2} + 3C_{2}\cdot 0\bigr)e^{0}=C_{2}=2.
Logo C_{2}=2.

Passo 7

Substituir C_{1}=0 e C_{2}=2 na solução geral para obter a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(x)=(0+2x)e^{3x}=2x e^{3x}.

Passo 8

(Rápida verificação opcional, só para segurança) Podemos verificar calculando y' e y'' para y(x)=2x e^{3x} e substituindo na equação original; isso confirma que a equação é satisfeita e que as condições iniciais também são satisfeitas:
y(0)=0,\qquad y'(0)=2.

Resposta

y(x)=2x e^{3x}

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