Em cada item, encontre a solução o problema de valor inicial dado.
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\right.
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Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Equação diferencial (problema de valor inicial) dada:
- Condições iniciais (dados em
):
- O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro passo técnico: resolver a equação diferencial homogênea linear com coeficientes constantes encontrando a chamada equação característica. A ideia é tentar uma solução da forma
(isso funciona porque derivadas de exponenciais produzem fatores constantes que transformam a equação diferencial em um polinômio em
).
Substituindo
em
obtemos a equação característica:
Passo 3
Resolver a equação característica. Essa é uma quadrática; podemos fatorar:
Logo a raiz é
com multiplicidade
(raiz dupla).
Passo 4
Quando a equação característica tem uma raiz real
de multiplicidade
, as duas soluções independentes da equação homogênea são
e
. Explicando intuitivamente: a multiplicidade implica que precisamos de uma segunda solução que não seja múltipla escalar da primeira; multiplicar por
dá essa independência linear.
Portanto a solução geral da equação homogênea, para
dupla, é
onde
e
são constantes arbitrárias a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora calculamos a derivada
de modo detalhado (usando a regra do produto). Começando de
temos primeiro a derivada do fator polinomial em
, que é
, e aplicamos a regra do produto:
Fatorando
obtemos
Passo 6
Aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
Usando
:
Portanto
.
Usando
e substituindo
na expressão de
:
Logo
.
Passo 7
Substituir
e
na solução geral para obter a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
Passo 8
(Rápida verificação opcional, só para segurança) Podemos verificar calculando
e
para
e substituindo na equação original; isso confirma que a equação é satisfeita e que as condições iniciais também são satisfeitas: