Em cada item, encontre a solução geral do problema de valor inicial dado. \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=0 \\\ y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2, y^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\end{array}\right.
Passo 1
O problema dá o seguinte problema de valor inicial (peguei tudo do enunciado):
O que se pede: encontrar a solução geral do problema de valor inicial, ou seja, a função y(x) que satisfaz a equação diferencial homogênea e as duas condições iniciais dadas em x=\dfrac{\pi}{2}.]
Passo 2
Ideia teórica (curso rápido e direto): para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''+a y'+b y=0
procura-se uma solução da forma y=e^{r x}. Substituindo obtém-se o polinômio característico
r^2 + a r + b = 0.
As raízes r desse polinômio determinam o tipo de solução:
se as raízes são reais e distintas: y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x};
se raízes reais iguais: y=(C_1 + C_2 x)e^{r x};
se raízes complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta:
Aqui C_1,C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais. É importante entender que a presença de e^{\alpha x} vem da parte real da raiz complexa e as funções trigonométricas vêm da parte imaginária.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: escrevemos o polinômio característico da equação
r^2-2r+5=0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = (-2)^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4-20 = -16.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Calculando as raízes:
Podemos checar rapidamente: em x=\dfrac{\pi}{2} tem-se e^{x-\pi/2}=1 e \cos(2x)=\cos(\pi)=-1, então y(\pi/2)=-2\cdot 1\cdot(-1)=2, conforme pedido; derivada também confere com a condição dada (ver passo 6).