Em cada item, encontre a solução geral do problema de valor inicial dado.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=0 \\\ y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2, y^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\end{array}\right.

Passo 1

O problema dá o seguinte problema de valor inicial (peguei tudo do enunciado):
\begin{cases} y''-2y'+5y=0,\\[4pt] y\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2,\quad y'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2. \end{cases}
O que se pede: encontrar a solução geral do problema de valor inicial, ou seja, a função y(x) que satisfaz a equação diferencial homogênea e as duas condições iniciais dadas em x=\dfrac{\pi}{2}.]

Passo 2

Ideia teórica (curso rápido e direto): para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''+a y'+b y=0
procura-se uma solução da forma y=e^{r x}. Substituindo obtém-se o polinômio característico
r^2 + a r + b = 0.
As raízes r desse polinômio determinam o tipo de solução:
  • se as raízes são reais e distintas: y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x};
  • se raízes reais iguais: y=(C_1 + C_2 x)e^{r x};
  • se raízes complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta:
y=e^{\alpha x}\big(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x)\big).
Aqui C_1,C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais. É importante entender que a presença de e^{\alpha x} vem da parte real da raiz complexa e as funções trigonométricas vêm da parte imaginária.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: escrevemos o polinômio característico da equação
r^2-2r+5=0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = (-2)^2 - 4\cdot 1\cdot 5 = 4-20 = -16.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Calculando as raízes:
r=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i.
Logo \alpha=1 e \beta=2.

Passo 4

Pela teoria do passo anterior, a solução geral da equação homogênea é
y(x)=e^{x}\big(C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)\big),
onde C_1 e C_2 são constantes que vamos encontrar com as condições iniciais.

Passo 5

Precisamos de y' para aplicar a condição sobre y'. Calculamos a derivada usando a regra do produto passo a passo:
y(x)=e^{x}\big(C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)\big).
Derivando, primeiro derivada de e^{x} é e^{x}, e derivada de \cos(2x) é -2\sin(2x), de \sin(2x) é 2\cos(2x). Assim
\begin{aligned} y'(x) &= e^{x}\big(C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)\big) \\\ &\quad + e^{x}\big(C_1\cdot(-2\sin(2x)) + C_2\cdot(2\cos(2x))\big)\\[4pt] &= e^{x}\Big((C_1+2C_2)\cos(2x) + (C_2-2C_1)\sin(2x)\Big). \end{aligned}]

Passo 6

Agora aplicamos as condições iniciais em x=\dfrac{\pi}{2}. Primeiro avaliamos ângulos trigonométricos necessários:
2\cdot \frac{\pi}{2}=\pi,\qquad \cos(\pi)=-1,\qquad \sin(\pi)=0.
Usando y\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2:
y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=e^{\pi/2}\big(C_1\cos(\pi)+C_2\sin(\pi)\big)=e^{\pi/2}\big(C_1(-1)+C_2\cdot 0\big)=-C_1 e^{\pi/2}=2.
Logo
C_1 = -2 e^{-\pi/2}.
Usando y'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2:
y'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=e^{\pi/2}\Big((C_1+2C_2)\cos(\pi)+(C_2-2C_1)\sin(\pi)\Big)=e^{\pi/2}\big((C_1+2C_2)(-1)+0\big)=-e^{\pi/2}(C_1+2C_2)=2.
Logo
C_1+2C_2 = -2 e^{-\pi/2}.
Substituindo o valor já encontrado para C_1:
-2 e^{-\pi/2} + 2C_2 = -2 e^{-\pi/2} \quad\Rightarrow\quad 2C_2=0 \quad\Rightarrow\quad C_2=0.

Passo 7

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(x)=e^{x}\big(C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)\big)=e^{x}\big(-2 e^{-\pi/2}\cos(2x)+0\big).
Simplificando o fator exponencial:
y(x)=-2 e^{x-\pi/2}\cos(2x).
Podemos checar rapidamente: em x=\dfrac{\pi}{2} tem-se e^{x-\pi/2}=1 e \cos(2x)=\cos(\pi)=-1, então y(\pi/2)=-2\cdot 1\cdot(-1)=2, conforme pedido; derivada também confere com a condição dada (ver passo 6).

Resposta

y(x)=-2\,e^{x-\pi/2}\cos(2x)

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